2.2 Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Асимптоты графика функции

В предыдущем разделе даны определения понятий возрастающей (убывающей) функции на промежутке X.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции формулируется следующим образом: если функция дифференцируема в промежутке и ее производная в этом промежутке положительна (отрицательна), то сама функция в этом промежутке возрастает (убывает). Доказательство данной теоремы основано на применении на отрезке теоремы Лагранжа.

Необходимое условие экстремума функции: в точке экстремума либо производная функции равна нулю, либо функция недефференцируема. Точки из области определения функции, в которых необходимое условие экстремума выполнено, в которых, следовательно, только и возможен экстремум, называются критическими (или стационарными). Заметим, что обратное утверждение в общем неверно. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Судить о том, будет данная критическая точка точкой экстремума или нет, можно на основании достаточных условий экстремума. Одно из них утверждает, что, если при переходе через критическую точку производная функции меняет свой знак с плюса на минус, то эта точка – точка локального максимума, а если с минуса на плюс, то точка локального минимума. Существуют и другие формулировки достаточного условия экстремума, использующие понятия высших производных.

Следует различать понятия экстремума функции и ее наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке изменения аргумента. Наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Для отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке следует найти ее производную, определить критические точки, найти значения функции в этих точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее (наименьшее).

Выпуклость и точки перегиба графика функции. График функции называется выпуклым (вогнутым) на промежутке , если он расположен не выше (ниже) любой касательной к графику функции на (рисунок 4).

Точка , разделяющая интервалы выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба графика функции (рисунок 5).

у О а b х	у О a b х	у О x0 х
Рисунок 24		Рисунок 25

Достаточным признаком выпуклости (вогнутости) графика функции внутри некоторого промежутка является отрицательное (положительное) значение второй производной данной функции на этом промежутке.

В точке перегиба вторая производная дважды дифференцируемой функции равно нулю. Это является необходимым условием перегиба. Достаточным признаком наличия точки перегиба является перемена знака второй производной функции при переходе через данную точку.

Асимптоты графика функции. В общей задаче исследования характера изменения функции важное значение имеет исследование поведения при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) аргумента х, а также исследование случаев неограниченного возрастания абсолютной величины в конечной части области определения. Геометрически эти исследования приводят к понятию асимптоты графика.

Асимптотой графика функции называется прямая линия, к которой неограниченно приближается уходящая в бесконечность ветвь графика (рисунок 6).

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

у уас укр Рисунок 26

Пусть прямая является наклонной асимптотой графика функции . Для отыскания углового коэффициента k и начальной ординаты b асимптоты используется условие

, откуда

, так как .

Далее определяется .

В частном случае асимптота будет горизонтальной. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .