Тема: Теорема Виета

1. Докажите, что уравнение

x³ + ax² - b = 0,

где a и b вещественные и b > 0, имеет один и только один положительный корень.

2. При каких a и b уравнение x³ + ax + b = 0 имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию?

3. Докажите, что если x₁, x₂, x₃ — корни уравнения x³ + px + q = 0, то

x₂² + x₂x₃ + x₃² = x₁² + x₁x₃ + x₃² = x₁² + x₁x₂ + x₂² = - p.

4. Пусть a, b и c — три различных числа. Решите систему

5. Автор: М.Ф.Безбородников

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a, b, c уравнения x³ + ax² + bx + c, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Ответ

Ответ: Искомое соотношение: c=[ab/3][2/27]a³ (или, что то же самое, одни из корней должен равняться [a/3]).

6. а) Известно, что

x + y	=	u + v,
x^2 + y^2	=	u^2 + v^2.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство

xⁿ + yⁿ = uⁿ + vⁿ.

б) Известно, что

x + y + z	=	u + v + t,
x^2 + y^2 + z^2	=	u^2 + v^2 + t^2,
x^3 + y^3 + z^3	=	u^3 + v^3 + t^3.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство

xⁿ + yⁿ + zⁿ = uⁿ + vⁿ + yⁿ.

Подсказка

а) Докажите, что пары чисел x, y и u, v являются парами корней одного и того же квадратного уравнения. Из этого будет следовать, что числа x, y совпадают с числами u, v с точностью до перестановки

7. Выразите свободный член c кубического уравнения

x³ + ax² + bx + c = 0

через коэффициенты a и b, зная, что корни уравнения образуют арифметическую прогрессию.

8. Пусть известно, что все корни некоторого уравнения

x³ + px² + qx + r = 0

положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

9. В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше а) 4x³ - 18x² + 24x = 8,     4x³ - 18x² + 24x = 9; б) 4x³ - 18x² + 24x = 11,     4x³ - 18x² + 24x = 12?

10. Даны действительные числа a₁a₂a₃ и b₁b₂b₃ такие, что

a₁ + a₂ + a₃ = b₁ + b₂ + b₃, a₁a₂ + a₂a₃ + a₁a₃ = b₁b₂ + b₂b₃ + b₁b₃.

Докажите, что если a₁b₁, то a₃b₃.

Решение

  Данные задачи напоминают теорему Виета. Рассмотрим многочлены P(x) = (x - a₁)(x - a₂)(x - a₃) и Q(x) = (x - b₁)(x - b₂)(x - b₃). Из условия задачи следует, что эти многочлены отличаются только свободным членом (достаточно раскрыть скобки). Поэтому график одного многочлена получается из графика другого сдвигом по оси ординат.

При xb₁ имеем Q(x) 0. Действительно, каждый из трех множителей в выражении для Q(x) неположителен, а произведение трех неположительных чисел неположительно.

Итак, Q(a₁) 0, P(a₁) = 0. Значит, график y = Q(x) получается из графика y = P(x) сдвигом вниз или совпадает с ним. В частности, Q(a₃)P(a₃) = 0. Но при x > b₃ имеем Q(x) > 0. Следовательно, a₃b₃.

11. Даны числа a, b, c, про которые известно, что a+b+c>0, ab+bc+ca>0, abc>0. Докажите, что каждое из чисел a, b, c положительно.