Подсказка
Числа a, b, c - корни некоторого многочлена третьей степени. Чему равны коэффициенты этого многочлена?
Решение
Рассмотрим многочлен P(x)=(x-a)(x-b)(x-c). Числа a, b, c - корни этого многочлена. Раскроем скобки и найдем коэффициенты этого многочлена: P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc. (По существу, эта выкладка есть доказательство теоремы Виета для многочлена третьей степени). Таким образом, из условия следует, что P(x)=x3-px2+qx-r, где p, q, r - положительные числа. Если x - неположительное число, то каждое их слагаемых x3, -px2, qx неположительно, следовательно, в этом случае P(x)<0. Итак, многочлен P(x) не имеет неположительных корней, т.е. его корни a, b, c - положительны, что и требовалось доказать.
12. Числа x, y, z удовлетворяют системе
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно a.
13. Дискриминант кубического уравнения. Пусть уравнение x3 + px + q = 0 имеет корни x1, x2 и x3. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения
D = (x1 - x2)2(x2 - x3)2(x3 - x1)2.
14. Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена x3 + x2 - 2x - 1 = 0.
15. Известно, что x1, x2, x3 — корни уравнения
x3 - 2x2 + x + 1 = 0.
Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа y1 = x2x3, y2 = x1x3, y3 = x1x2.
16. Найдите все корни уравнения (z - 1)n = (z + 1)n. Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?
Решение
zk = itg - + = ictg (1 k n - 1). Для нахождения суммы квадратов корней раскроем в уравнении скобки по формуле бинома Ньютона и сделаем сокращения:
Cnn - 1zn - 1 + Cnn - 3zn - 3 +...= 0.
По теореме Виета
(z1,..., zn - 1) = 0, |
(z1,..., zn - 1) = = . |
Далее, применяя результат задачи 6.107 , д), находим
z12 + z22 +...+ zn - 12 = - .
17. Докажите, что равенство
4p3 + 27q2 = 0
является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения x3 + px + q = 0.
18. Целые числа a, b и c таковы, что числа ++ и + + тоже целые. Докажите, что | a| = | b| = | c|.
Решение
Первый способ. Пусть утверждение задачи не верно. Числа a, b и c можно сократить на их общий множитель, поэтому будем считать, что НОД(a, b, c) = 1. Пусть одно из чисел не равно ±1, можно считать, что это число a. Пусть p — любой простой делитель числа a. Так как числа взаимно просты в совокупности, p не делит число b или p не делит число c. Рассмотрим второй случай (первый случай аналогичен).
Введем обозначение: k(x) — максимальная степень p в разложении x на простые множители. Можно считать, что k(a)k(b) (мы знаем, что k(c) = 0).
Имеем
+ + = .
Число p входит в знаменатель в степени k(a) + k(b). Значит, числитель делится на pk(a) + k(b). Покажем, что это не так. Число p входит в a2c в степени 2k(a)k(a) + k(b), в b2a -- в степени k(a) + 2k(b)k(a) + k(b), а в c2b — в степени k(b) < k(a) + k(b). Значит, a2c + b2a делится на pk(a) + k(b), а c2b -- не делится на pk(a) + k(b). Поэтому сумма этих чисел не делится на pk(a) + k(b) — противоречие.
Второй способ. Введем обозначения: x = , y = , z = . Тогда xyz = 1 и
xy + yz + zx = = + + = + +
-- целое число. Рассмотрим многочлен
P(t) = t3 - (x + y + z)t2 + (xy + yz + zx)t - xyz.
По доказанному, все коэффициенты этого многочлена целые. Кроме того, коэффициент при старшем члене t3 равен единице. Значит, все рациональные корни этого многочлена — целые (см. комментарий). Согласно обратной теореме Виета, x, y и z — корни этого многочлена. Значит, x, y и z -- целые числа, но xyz = 1, так что x = ±1, y = ±1, z = ±1. Это равносильно тому, что | a| = | b| = | c|.
Комментарий. Докажем использованное утверждение.
Пусть f (x) = a0 + a1x + ... + anxn — многочлен с целыми коэффициентами.
Теорема. Пусть — несократимая дробь, которая является корнем многочлена f (x). Тогда p| a0, q| an.
Набросок доказательства. Докажем первое утверждение. Условие f[b] = 0 можно переписать так:
a0qn + a1pqn - 1 + ... + anpn = 0. |
(2) |
Пусть l — простое число. Достаточно доказать, что максимальная степень l, входящая в разложение p на простые множители, не превосходит максимальной степени l, входящей в разложение числа a0 на простые множители. Пусть это не так, т. е. найдется такое x, что p делится на lx, а a0 не делится на lx. Так как дробь несократима, q не делится на l, поэтому в левой части равенства (*) первый член не делится на lx, а остальные делятся, но это невозможно.
Следствие. Если an = 1, то любой рациональный корень многочлена f (x) является целым.
19. Числа x, y, z удовлетворяют равенству
x + y + z - 2(xy + yz + xz) + 4xyz = .
Докажите, что хотя бы одно из них равно 1/2.