Решение

  Заметим, что

x + y + z - 2(xy + yz + xz) + 4xyz - = (2x - 1)(2y - 1)(2z - 1).

Если левая часть равенства равна нулю, то хотя бы один множитель справа равен нулю. Значит, одно из чисел x, y, z равно 1/2.

Комментарии. 1^o. Как догадаться до разложения на множители? Обозначим этот многочлен через P(x, y, z). Воспользуемся общим утверждением: если многочлен от нескольких переменных тождественно обращается в нуль при x = a, то многочлен делится на x - a. Если x = 1/2, то P(x, y, z) = 0. Значит, P(x, y, z) делится на x - 1/2. Аналогично, P(x, y, z) делится на y - 1/2 и z - 1/2. Поэтому P(x, y, z) равен (x - 1/2)(y - 1/2)(z - 1/2) с точностью до умножения на константу.

2^o. Другой способ: согласно обратной теореме Виета P(x, y, z) = - 4f (1/2), где

f (t) = (t - x)(t - y)(t - z).

20. Целые числа a, b и c таковы, что числа a/b+b/c+c/a и a/c+c/b+b/a тоже целые. Докажите, что |a|=|b|=|c|.

Подсказка

Можно использовать соображения делимости или рассмотреть многочлен третьей степени, корнями которого являются числа a/c, c/b, b/a.

Решение

Пусть a/b=x, b/c=y, c/a=z. Очевидно, xyz=1. Обозначим x+y+z через k, а xy+yz+zx через m. Тогда, k=x+y+z=a/b+b/c+c/a - целое. Также m=xy+yz+zx=(a/b)*(b/c)+(b/c)*(c/a)+(c/a)*(a/b)=a/c+c/b+b/a - целое. По обратной теореме Виета числа x,y,z являются корнями уравнения x³-kx²+mx-1=0. Нетрудно показать, что если рациональные числа являются корнями многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным 1, то они целые. Значит, x,y,z - целые, но xyz=1. Поэтому |x|=|y|=|z|=1, откуда |a|=|b|=|c|, что и требовалось доказать.

21. Решите системы: а)

б)

в)

г)

д)

е)

22. Метод Лобачевского. Пусть многочлен

P(x) = xⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} +...+ a₁x + a₀

имеет корни x₁, x₂, ..., x_n, причем | x₁| > | x₂| >...> | x_n|. В задаче 6.42 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа x₁², x₂², ..., x_n². На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится последовательность многочленов P₀(x), P₁(x), P₂(x),...такая, что P₀(x) = P(x) и многочлен P_k(x) имеет корни x₁^2k,..., x_n^2k. Пусть

P_k(x) = xⁿ + a_{n - 1}^(k)x^{n - 1} +...+ a₁^(k)x + a₀^(k).

Докажите, что а) - a_{n - 1}^(k) = x₁; б) - = x_l          (1 l n).

23. Докажите, что ни при каком целом A многочлен 3x²ⁿ + Axⁿ + 2 не делится на многочлен 2x^2m + Ax^m + 3.

Решение

Предположим, что многочлен 3x²ⁿ + Axⁿ + 2 делится на многочлен 2x^2m + Ax^m + 3. Тогда любой корень многочлена 2x^2m + Ax^m + 3 является также корнем многочлена 3x²ⁿ + Axⁿ + 2. Если x_i — корень многочлена 2x^2m + Ax^m + 3, то x_i^m =  = α_1,2. Можно считать, что x₁^m = α₁ и x₂^m = α₂. Пусть β_1,2 =  — корни квадратного трёхчлена 3x² + Ax + 2. Первый случай. A² - 24 > 0. В этом случае |α₁| ≠ |α₂|, поэтому x₁ⁿ = β₁ и x₂ⁿ = β₂. С одной стороны, |x₁x₂| =  =  < 1, а с другой стороны |x₁x₂| =  =  > 1. Приходим к противоречию. Второй случай. A² - 24 ≤ 0. В этом случае |α₁| = |α₂| =  и |β₁| = |β₂| = . Поэтому, с одной стороны, |x₁| =  =  > 1, а с другой стороны, |x₁| =  =  < 1. Снова приходим к противоречию

24. Докажите, что при нечетном n > 1 справедливо равенство

= .