Лекція №5 Тема: Випадкові величини

1. Сутність випадкової величини

2. Поняття про закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини

3. Означення функції розподілу та її властивості

4. Щільність розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини та її властивості

5. Математичне сподівання та дисперсія дискретних випадкових величин, їх основні властивості. Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини

3. Означення функції розподілу та її властивості

Розглянутий ряд розподілу є зручною формою подання закону розподілу для дискретної випадкової величини з кінцевим числом можливих значень. Однак ряд розподілу взагалі не можна побудувати для безперервної випадкової величини. Дійсно, безперервна випадкова величина має нескінченну множину можливих значень, які суцільно заповнюють деякий проміжок, і перелічити їх у якій-небудь таблиці не можна. Тому для безперервної випадкової величини не існує ряду розподілу в тому розумінні, у якому він існує для дискретної випадкової величини.

У силу цього потрібно мати таку характеристику розподілу ймовірності, що була б застосовна для всіх видів випадкових величин. Найбільш загальною характеристикою розподілу випадкової величини Х є функція розподілу.

Функцією розподілу, або законом розподілу, випадкової величини X називається завдання ймовірності виконання нерівності X <х, розглянутої як функції аргументу х:

.

Визначення функції розподілу має просту геометричну інтерпретацію. Якщо розглядати випадкову величину як випадкову точку X осі Ох (мал. ), що у результаті досліду може зайняти те або інше положення, то функція розподілу F (х) є ймовірність того, що випадкова точка X у результаті досліду попаде лівіше точки х.

Графік функції розподілу представляє собою ступінчасту ламану лінію. При чому при кожному новому значенні випадкової величини, сходинка піднімається вище на величину, що становить ймовірність цього значення.

Функція розподілу має такі властивості:

1. Функція розподілу є невід’ємною зі значеннями на проміжку від 0 до 1: 0≤F(x) ≤1.

2. Функція розподілу є зростаючою, тобто для х1<х2 виконуються нерівність: F(x1) ≤ F(x2).

3. Функція розподілу є неперервною зліва, тобто: .

4. Ймовірність події Х, що належить проміжку від а до b знаходять за формулою: P ( a≤ x≤ b)=F(b)-F(a).

МОДУЛЬ 3. МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Лекція №6 Тема: Основи математичної статистики. Вибірковий метод та способи відбору.

1. Задачі математичної статистики

2. Генеральна і вибіркова сукупність

3. Вибірка і способи її організації. Емпірична функція розподілу

4. Варіаційний ряд. Полігон і гістограма

4. Варіаційний ряд. Полігон і гістограма.

Одержані в результаті спостереження масові статистичні дані необхідно систематизувати, привести їх у необхідний порядок. Розмістивши окремі значення ознак (варіант) у зростаючому або спадаючому порядку, отримаємо ранжирований ряд розподілу.

Однак ранжирований ряд ще не дає загальної картини розподілу, тому що не видно, яка закономірність закладена в розподілі, навколо якої величини концентруються варіанти. Тому виникає необхідність подальшого узагальнення статистичних даних, об'єднання їх в окремі групи і підрахунку частот для кожної групи. В результаті проведення цієї операції одержимо варіаційний ряд розподілу.

Варіаційним рядом розподілу називається впорядкована статистична сукупність, у якій значення варіант розташовані в ранжирований ряд із зазначенням для кожного інтервалу (групи) відповідних частот (частостей).

Для побудови інтервального варіаційного ряду розподілу необхідно визначити кількість груп і величину інтервалу. Кількість груп залежить від загальної чисельності одиниць сукупності і характеру групувальної ознаки. Водночас при розв'язанні цього питання необхідно виконання двох важливих умов:

1) виділені групи повинні відрізнятись якісною однорідністю;

2) кількість одиниць у кожній групі повинна бути достатньо великою.

Якщо інтервальний ряд будується за атрибутивною (якісною) ознакою, то виділяють стільки груп, скільки є градацій ознаки. Аналогічно виділяють групи і при побудові інтервального варіаційного ряду розподілу за дискретною кількісною ознакою, яка змінюється в невеликих межах.

Якщо ж інтервальний ряд будується за кількісною ознакою, яка змінюється неперервно і набуває в певних межах будь-які дробові значення, то при виділенні груп необхідно за кількісними змінами встановити якісні переходи для того, щоб виділити якісно відмінні одна від одної групи.

Величина інтервалу визначається за формулою:

де х _max , x _min – максимальне і мінімальне значення ознаки; п – кількість груп, яка може бути наближено визначена за формулою Стерджеса:

п = 1+3,322 Lg N (тут N – чисельність сукупності).

Кількість груп п = 5 - 6 при N = 25-30;

п = 7 - 8 при N=60-70;

n = 8-9 при N = 70-200;

n = 9-15 при N = 200-300 і більше.

Для наочності варіаційні ряди розподілу можуть бути зображені графічно у вигляді гістограми, полігону, огіви або кумуляти. Гістограма є сукупністю стовпчиків однакової ширини, розташованих на однаковій відстані або щільно і служить для зображення інтервального варіаційного ряду розподілу. Полігон є графічним зображення розподілу випадкової величини у вигляді ламаної лінії і служить, як правило, для дискретного варіаційного ряду. Огіва є графічним зображення розподілу випадкової величини у вигляді плавної неперервної лінії і служить для ранжированого ряду. Кумулята є графічним стрибкоподібним зображення розподілу випадкової величини і служить для побудови нагромаджених частот.

Побудувавши полігон або гістограму, можна одержати перше уявлення про форму розподілу, під якою розуміють форму його графіка в межі, тобто форму кривої розподілу.

Лекція №7-8

Тема: Статистичні оцінки параметрів статистичного розподілу

1. Статистичні оцінки параметрів розподілу та їх класифікація

2. Точкові оцінки невідомих параметрів розподілу

3. Оцінка математичного сподівання і дисперсії випадкової величини

4. Інтервальне оцінювання невідомих параметрів

5. Надійні інтервали для параметрів нормального розподілу

Лекція №9-10

Тема: Статистичні гіпотези.

1. Статистичні гіпотези та їх класифікація

2. Статистичні критерії перевірки нульової гіпотези

Тема: Основи кореляційно-регресійного аналізу

1. Функціональна і стохастична залежності.

2. Лінії регресії. Визначення параметрів лінійної регресії методом найменших квадратів для не згрупованих даних.

3. Кореляційне відношення, його властивості

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ

Практичне заняття №1

Тема:Випадкові події та їх ймовірність. Комбінаторика