- •3. Аналитическая геометрия в пространстве
- •3.1. Плоскость в пространстве
- •3.2. Уравнение прямой в пространстве
- •2.3. Проекция вектора на заданную ось. Координаты вектора в декартовой системе координат
- •2.4. Скалярное произведение двух векторов
- •2.5. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.2. Векторы. Линейные операции над векторами
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Обратная матрица
- •1.5. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •1.7. Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.8. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (метод последовательного исключения неизвестных)
- •1.9. Метод Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
Проекцией
точки А
на заданную ось называется точка –
основание перпендикуляра, опущенного
из точки А
на ось.
Проекцией
вектора
на ось
называется величина отрезка
,
заключенного между проекциями начала
и конца вектора
.
Обозначим
проекцию вектора
на ось
;
–
проекцию вектора
на направление
.
Очевидно, что
,
если угол между
и
острый, и
,
если угол между векторами
и
– тупой (рис.8). Проекцию можно вычислить
по формуле
,
где
– угол наклона вектора
к оси
.
Векторы
и
называются ортогональными
(),
если параллельны двум взаимно
перпендикулярным прямым.
Правая
тройка взаимно ортогональных ортов
образует декартов базис
. Координатами
вектора в декартовом базисе являются
проекции этого вектора на оси координат.
Разложение вектора
в декартовой системе координат
обозначается
.
Пусть
,
.
Тогда
;
;
.
Косинусы
углов, которые вектор
образует с осями координат, называются
направляющими косинусами вектора
:
;
;
;
.
Пусть
и
– точки пространства, тогда
.
Скалярным
произведением векторов
и
называется скаляр (число)
.
Свойства
скалярного произведения: 1) ;
2) ;
3) -
скаляр,
.
Согласно
определению скалярного произведения
и его свойствам
;
;
,
(8)
где
– скалярный квадрат вектора
.
Условие
ортогональности векторов имеет вид
.
Если
то
.
Если
.
(9)
Для
базисных векторов
справедливы равенства
;
;
;
.
Векторным
произведением вектора
на вектор
называется вектор
,
который определяется следующим образом:
а)
,
т.е.
численно равен площади параллелограмма,
построенного на векторах-сомножителях
как на сторонах; б)
и
;
в) ,
,
образуют правую тройку векторов.
Свойства
векторного произведения:
1) ;
2) ,
где
- скаляр;
3) ;
4) ;
;
;
,
где
– координатные орты;
5) если
и
,
то
.
(10)
Условие
коллинеарности векторов
.
Смешанным
произведением трех векторов
,
и
называется скалярное произведение
вектора
на вектор
.
Смешанное произведение векторов
обозначается
.
Свойства
смешанного произведения:
1) ;
(11)
2) ,
но
.
Условие
компланарности векторов:
тогда и только тогда, когда
,
,
компланарны и не равны нулю.
Объем
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
,
,
.
Объем
пирамиды, образованной векторами,
.
Если
,
и
,
то
2.3. Проекция вектора на заданную ось. Координаты вектора в декартовой системе координат
2.4. Скалярное произведение двух векторов
2.5. Векторное и смешанное произведения векторов