Свойства определителя.

Минором элемента a_ij определителя порядка n называется определитель порядка , который получится, если из исходного определителя вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, обозначаемый M_ij.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется величина A_ij = (–1)^i+jM_ij.

Свойства определителей:

 Значение определителя не изменится, если заменить все его строки соответствующими по номеру столбцами (транспо­ни­ровать).

 Если поменять местами две строки, определитель изменит знак.

 Если в двух строках элементы с одинаковыми номерами пропорциональны, то определитель равен нулю.

 Если каждый элемент строки определителя умножить на число k, то определитель увеличится в k раз.

Следствие: общий множитель всех элементов строки можно выносить за знак определителя.

 Сумма попарных произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов с теми же номерами другой строки равна нулю.

 Определитель не изменит своего значения, если к элементам одной строки прибавить элементы с теми же номерами столбцов другой строки, умноженные на одно и то же число.

 Все свойства определителя, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.

 Определитель равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. разложение определителя по элементам i-й строки , а раз­ложение по элементам j-го столбца .

Введем обозначения: S_i – i-я строка; R_j – j-й столбец, – сложить поэлементно (т.е. попарно элементы i-й и e-й строк с одинаковыми номерами столбцов) строки и S_e.

1.3. Умножение матриц

Пусть , .

Если число строк матрицы В равно числу столбцов матрицы А, то матрица В согласована с матрицей А.

Произведением матрицы А на согласованную матрицу В называется матрица , элемент которой равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующий элемент j-го столбца матрицы В, т.е.

1.4. Обратная матрица

Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если .

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы А, если .

Невырожденная матрица А имеет обратную, причем единственную, матрицу.

Покажем, как вычисляется обратная матрица. Пусть задана , причем . Тогда , где – союзная матрица матрицы А, где – алгебраическое дополнение элемента матрицы А. Обратную матрицу для данной матрицы можно получить, приведя элементарными преобразованиями матрицу А к единичной и выполнив над те же преобразования, что и над матрицей А. Тогда единичная матрица преобразуется к матрице .

1.5. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц

Если в заданной прямоугольной матрице А размерности выделить k столбцов и k строк то определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных k столбцов и k строк, называется минором k-го порядка матрицы А. Число различных миноров k-го порядка матрицы размерности равно

Рангом матрицы А называется наивысший порядок минора, отличного от нуля.

Элементарными преобразованиями матриц называются такие преобразования, при которых не изменяется ранг матрицы. Например, элементарными являются следующие преобразования:

 перемена местами строк;

 транспонирование;

 умножение строки на число;

 замена строки матрицы на строку, полученную сложением этой строки с другой, умноженной на число.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется, поэтому, чтобы найти ранг произвольной матрицы, можно элементарными преобразованиями привести ее к трапецеидальной матрице.

1.7. Системы линейных алгебраических уравнений

Система m алгебраических уравнений с n неизвестными вида

(1)

называется системой линейных уравнений.

Матрица коэффициентов при неизвестных

называется матрицей системы уравнений.

Числа называются свободными членами уравнений системы.

Расширенной матрицей системы называется матрица размерности :

.

Если = 0 при всех i = 1, 2, ..., m, то система уравнений называется однородной.

Решить систему уравнений (1) означает найти все наборы чисел , при которых каждое из уравнений системы обращается в тождество.

Система уравнений называется совместной, если имеет хотя бы одно решение.

Система m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда причем, если система имеет единственное решение, а если , то бесконечное множество решений (теорема Кронекера – Капелли).

Если система имеет бесконечное множество решений, то неизвестных принимают произвольные значения (свободные неизвестные), а остальные r(A) неизвестные называются базисными и вычисляются через свободные неизвестные. Зависимости, связывающие свободные и базисные неизвестные, называются общим решением системы.

1.8. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (метод последовательного исключения неизвестных)

Метод позволяет получить решение совместной системы любой размерности или определить, что система уравнений несовместна.

Приводя матрицу системы и расширенную матрицу к трапецеидальной, определяют ранг матриц, а следовательно, и структуру решения исходной системы. Выполняя элементарные преобразования только над строками матриц, на каждом шаге получают матрицу системы уравнений, имеющую те же решения, что исходная система линейных уравнений. Выписав систему уравнений, соответствующую последней матрице, «обратным ходом» вычисляют неизвестные.

1.9. Метод Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему n алгебраических линейных уравнений с n неизвестными:

  (2)

Определителем системы называется определитель матрицы системы

.

Обозначим – определитель, который получится из определителя системы заменой  j-го столбца на столбец

.

Теорема Крамера. Если определитель системы уравнений (2) , то система имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам .