- •Содежание
- •Тема: Совместные исследования уравнения двух прямых
- •Тема: Не полное уравнение прямой
- •Тема: аналитическая геометрия в пространстве
- •Тема: Неполные уравнения плоскости
- •Тема: уравнение плоскости проходящей через три точки
- •Тема: Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой.
- •Тема: уравнение прямой, проходящее через 2 точки
- •Тема: Прямая, как пересечение двух плоскостей
- •Тема: Параллельность и перпендикулярность двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.
- •Тема: Кривые второго порядка. Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.
- •Тема: Исследование формы эллипса и его построения.
- •Тема: Эксцентриситет эллипса
- •Тема: Гипербола
- •Тема: Исследование уравнения гиперболы
- •Тема: Эксцентриситет гиперболы
- •Тема: Исследование формы параболы.
- •Тема: Матрица. Понятие матрицы. Основные определения.
- •Тема: Действие над матрицами
- •Тема: свойства умножения матриц
- •Тема: Обратная матрица и ее вычисление
- •Тема: Вычисление обратной матрицы
- •Тема: Решение систем линейных уравнений матричным способом
- •Тема: Дифференциальное исчисление
- •Тема: Неявные и обратные функции.
- •Тема: Понятие числовой последовательности и Эпсилон окрестности точки.
- •Тема: Понятие Эпсилон окружности точки.
- •Тема: Предел последовательности (числовой)
- •Тема: Предел функции
- •Односторонние пределы
- •Предел функции при бесконечном стремлении аргумента.
- •Тема: Не ограниченные и ограниченные функции
- •Тема: бесконечно малые величины и их свойства
- •Тема: Основные теоремы о пределах
- •Тема: Первый замечательный предел
- •Тема: второй замечательный предел. Число e, натуральные логарифмы
- •Тема: Сравнение бесконечно малых величин
- •Тема: Некоторые свойства непрерывной функции.
- •Тема: Условие непрерывности функции
- •Тема: Классификация точек разрыва
- •Тема: Производная и дифференциал
- •Тема: Определение производной ее геометрический и механический смысл.
- •Тема: Механический и геометрический смысл производной.
- •Тема: Дифференцируемость функции
- •Тема: Производные некоторых элементарных функций.
- •Тема: Понятие сложной функции и ее производная
- •Тема: Производная функций и
- •Тема: Производная неявно заданной функции
Тема: Механический и геометрический смысл производной.
Производная закона движения тела или материальной точки равна мгновенной его скорости.
Геометрический смысл производной
f(x0+Δx) B
Δy A φ
f(x0)
α
Δx
0 x0-ε x0 x0+ε
Пусть в некоторой окружности точки , задана функция .
Рассмотрим превращение аргумента .
Пусть точка А не подвижна, а точка В скатывается к точке А по кривой АВ, при этом и значит . Пир этом хорда поворачивается вокруг точки А против часовой стрелки, как вокруг центра вращения и в пределе займет положение касательной к кривой в точке А.
(tg угла наклонной хорды)
Вывод: производная функции , вычисленная в точке =проведенной к графику этой функции в точке абсцисса которой .
Тема: Дифференцируемость функции
Не каждая функция является дифференцируемой. Рассмотрим связь между непрерывными и дифференцируемыми функциями.
Теорема: Если дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке
Доказательство:
Тогда по одной из теорем, теореме пределов запишем следствие этого
Где , тогда при ,
Обратная теорема не верна, существуют функции непрерывные, но не дифференцированные в некоторой точке.
Тема: Производные некоторых элементарных функций.
Операция дифференцирования, как и любая математическая операция, имеет свою таблицу, которая называется таблицей производных. Составим эту таблицу.
1)степенная функция, n- любое действительное число
a)
2)
3)
4)
5)
6)
a)
б)
7)
Следствие:
Рассм. Ф-цию
Постоянный множитель можно выносить за знак производной
8)
Можно доказать, что в данном случае обозначение предела и логарифма можно поменять местами.
Пусть
Тема: Понятие сложной функции и ее производная
Пусть функция задана
- аргумент независимой переменной
U – зависимая или промежуточная переменная
- значение функции.
Функция, заданная системой таких равенств называется сложной функцией.
Теорема: Если функция имеет производную в некоторой точке , а функция имеет производную в соответствующей точки то функция имеет производную в указанной точки , и эта производная имеет вид
Пример:
Замечание: функция, записанная в условии задачи, была не табличной, после введения , мы пришли к табличной функции.
Следствие: количество промежуточных переменных в формуле сложной функции зависит только от поставленной задачи.
Тема: Производная функций и
9)
10)