1.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел.

Равенство матриц

А=В, если 1. А_[mxn]=B_[mxn]

2. a_ij=b_ij

Соответствующие элементы – элементы с одинаковыми индексами

Две матрицы равны если они совпадают и их размерности равны

Операции над матрицами

1. Сложение

С_[mxn]= А_[mxn]+B_[mxn], если с_ij= a_ij+b_ij

Свойства сложения матриц

1. Коммутативность (переместительный закон)

А+В=В+А

Доказательствo:

Пусть С_[mxn]=А_[mxn]+B_[mxn], D_[mxn]=B_[mxn]+A_[mxn],

А) Размерности С и В совпадают

Б) с_ij= a_ij+b_ij, по определению

d_ij= b_ij+a_ij, но т.к. a_ij и b_ij – числа, то a_ij+b_ij= b_ij+a_ij→ c_ij=d_ij→C=В

2. Ассоциативность (Сочетательный закон)

(A+B)+C=A+(B+C)

Доказательствo:

D’=A+B, D=D’+C, P’=B+C, P=A+P’

А) Размерность D’_[mxn]=A_[mxn]+B_[mxm]

D_[mxn]=D’_[mxn]+C_[mxn], аналогично для P_[mxn]

Б)d’_ij= a_ij+b_ij; d_ij=d’_ij+c_ij= (a_ij+b_ij) +c_ij

p’_ij= b_ij+a_ij; p_ij=p’_ij+a_ij= a_ij+(b_ij +c_ij)

Для чисел aij, b_ij, c_ij справедливо равенство (a_ij+b_ij) +c_ij = a_ij+(b_ij +c_ij) →p_ij=d_ij→P=В

3. Нейтральный элемент относительно сложения

Θ такая, что Θ + А =А+ Θ=А

А) Размерности совпадают

Б) Θ_ij+a_ij=a_ij+Θ_ij→ Θ_ij=0

II. Вычитание

С=A-B, если А=В+С

c_ij=a_ij-b_ij

Противоположные матрицы – матрицы сумма которых равна 0.

Нулевая матрица – матрица все элементы которой равны 0

О=

2.

2. Умножение матрицы на число

С=k*A, если

1. с_ij=ka_ij

2. размерности совпадают

Свойства операции

1. k(A+B)=kA+kB

2. (k+n)A=kA+nA

3. (kn)A=k(nA)=n(kA)

4. Вычитание можно представить как сложение с обратной матрицей

A-B=A+(-1)B

3.

IV. Транспонирование матриц

A= A^т=

C_[mxn]=(A_[mxn])^т, если с_ij=a_ji

Свойства

1. (A+B)^т=А^т+В^т

2. (nA)^т=nA^т

Доказательствo: С=А^т, если c_ij=a_ji

B=nA, C=B^т (слева)

D=A^т, P=nD (справа)

А) Размерности B=nA

C=B^т, D=A^т, P=nD

б) Посвойству умножения элементы В совпадают с элементами А умноженными с тем же числом

b_ij=na_ij (слева)

d_ji=a_ij ,p_ji=nd_ji=na_ij

→p_ji=c_ji→B=C

3. (А^т)^т=А

4.

V. Произведение матриц

A_[mxn]*B_[nxr]=C_[mxr]

Согласованные матрицы-матрицы число столбцов 1 матрицы равно числу строк во 2

Если А и В согласованны то В и А не всегда

С называется произведением A*B, если

1. C_[mxn] =A_[mxr]*B_[rxn]

2. с_ij=

Элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и j-м столбце равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы о столбца матрицы В.

Свойства

1. AB≠BA

2. (AB)C=A(BC) (без док)

3. A(B+C)=AB+AC

4. n(AB)=A(nB)

5. (AB)^т=В^тА^т

VI. Нейтральный элемент относительно умножения – единичная матрица (е)

AE=A=EA

Единичная матрица – квадратная матрица все элементы которой, расположенные на гланой диагонали равны 1, а остальные 0.

E_ij=1, при i=j

VII. Умножение на нулевую матрицу

A_[mxn] Θ_[nxr]= Θ_[mxr]

5.

VIII. Возведение матрицы в степень

(A_[mxn])^k=AAAAAA…(k раз)

6.

Квадратная матрица – матрица у которой i=j.

Определитель матрицы – число.

Порядок определителя - количество строк или столбцов.

Теорема разложения.

Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

7.

D₃=a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₂₁a₃₂a₁₃ – a₃₁a₂₂a₁₃ – a₃₂a₂₃a₁₁ – a₂₁a₁₂a₃₃

Вывод правила треугольников.

8.

Свойства определителя n-го порядка

1. Если у определителя поменять 2 строки, то определитель изменит знак.

2. Если есть нулевая строка, то определитель равен 0.

3. Если все элементы строки умножить на число, то определитель увеличиться на это число.

4. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

5. det(AB)=detA*debt(без док)

6. , если i≠j.

9.

Обратные матрицы

Матрица А^-1 называется обратной для А, если А^-1А=АА^-1=Е→А – квадратная матрица.

Вырожденная матрица – матрица определитель которой не равен 0

Теорема: Если А не вырожденная, то существует одна А^-1.

Доказательство:

Пусть А_[nxn]= det(a)=0 S= A^-1=1/Δn*S^т

AA^-1=E

A(1/Δn*S^т)=E

(1/Δn)** =(1/Δn)*= =(1/Δn)*=

Доказательство единственности:

Предположим, что есть 2 обратных матрицы для А..

A^-1 и В

А^-1А=АА^-1=Е

BA=AB=E (1-2)

А^-1А-BA= АА^-1-AB=E-E

A(A^-1-B)=A(A^-1-B)=0

A^-1-B=0 => (a^-1)_ij=b_ij => A^-1=B.

10.