- •Глава 1. Линейная алгебра.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений.
- •Глава 2. Векторная алгебра.
- •Тема 1. Линейные действия с векторами.
- •Тема 2. Умножение векторов.
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат.
- •Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •Тема 1. Уравнение линии на плоскости.
- •Тема 2. Геометрические задачи на прямую на плоскости.
- •Тема 3. Кривые 2-го порядка
- •Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •Тема 1. Уравнения линий и поверхностей в пространстве.
- •Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве.
- •Тема 3. Поверхности 2-го порядка.
- •Глава 1. Л и н е й н а я а л г е б р а
- •Тема 1. Определители
- •Тема 2. Матрицы
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •Глава 2. В е к т о р н а я а л г е б р а
- •Тема 1. Линейные действия с векторами
- •Тема 2. Умножение векторов
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат
- •Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •Тема 1. Уравнение линии на плоскости.
- •Тема 2. Геометрические задачи на прямую на плоскости.
- •Тема 3. Кривые 2-го порядка
- •Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •Тема 1. Уравнения линий и поверхностей в пространстве.
- •Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве.
- •Тема 3. Поверхности 2-го порядка.
Тема 3. Кривые 2-го порядка
. Окружность.
364. Построить окружность, найти ее центр C и радиус R:
а) x2 + y2 - 8x + 6y + 21 = 0; б) x2 + y2 - 4x = 0; в) x2 + y2 + 6y - 7 = 0; г) 9x2 + 9y2 - 6x + 6y - 7 = 0
365. Составить уравнение окружности, проходящей через 3 точки: A(0; 2), B(1; 1), C(2; -2).
366. Составить уравнение окружности, касающейся оси OX в начале координат и пересекающей ось OY в точке A(0; 4).
367. Составить уравнение окружности радиуса R = 2, касающейся оси OY в точке A(0; -3).
368. Составить уравнение окружности, касающейся обеих осей координат и проходящей через точку A(2; 9).
369. Составить уравнение окружности с центром в точке C(6; 7), касающейся прямой 5x - 12y - 24 = 0.
370. Составить уравнение касательной к окружности x2 + y2 = 5 в точке A(1; -2).
371. Составить уравнение касательной к окружности (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 в точке A(5; 5).
372. Составить уравнение касательной к окружности x2 + y2 - 2x - 3y = 0 в точке A(0; 3).
373. Определить угол, под которым видна окружность x2 + y2 = 16 из точки M(8; 0).
374. Найти длину d касательной, проведенной из точки M(2; 6) к окружности (x + 3)2 + (y - 2)2 = 25.
375. Составить уравнение окружности, проходящей через точку A(1; 1) и касающейся прямых 7x + y - 3 = 0 и x + 7y - 3 = 0.
. Эллипс.
376. Построить эллипс: 9x2 + 25y2 = 225. Найти его полуоси a и b, фокусы F1 и F2, эксцентриситет e, расстояние между директрисами d; составить уравнения директрис D1 и D2.
377. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно:
а) a = 3, b = 2; б) a = 5, c = 2; в) c = 3, e = ; г) b = 5, e = ; д) c = 2, d = 5; е) e = , d = 32.
378. Построить эллипс; найти его центр C, полуоси a и b, фокусы F1 и F2, эксцентриситет e, расстояние между директрисами d; составить уравнения директрис D1 и D2:
а) 5x2 + 9y2 - 30x + 18y + 9 = 0; б) 16x2 +25y2 + 32x - 100y - 284 = 0; в) 4x2 + 3y2 - 8x + 12y - 32 = 0.
379. Вычислить эксцентриситет e эллипса, если известно:
а) малая ось его видна из фокуса под прямым углом;
б) расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами малой и большой осей;
в) расстояние между директрисами в 4 раза больше расстояния между фокусами.
380. На эллипсе 9x2 + 25y2 = 900 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в 4 раза больше расстояния от ее левого фокуса.
381. Через фокус F(c; 0) эллипса + = 1 проведена хорда, перпендикулярная к большой оси. Найти длину этой хорды.
382. Составить уравнение касательной к эллипсу + = 1 в точке M(2; -3).
383. Составить уравнения касательных, проведенных из точки A(-6; 3) к эллипсу + = 1.
384. Составить уравнения касательных к эллипсу + = 1, параллельных прямой 2x - y + 17 = 0.
385. Составить уравнения касательных к эллипс у + = 1, перпендикулярных к прямой 13x + 12y - 115 = 0.
. Гипербола.
386. Построить гиперболу: 16x2 - 9y2 = 144. Найти ее полуоси a и b, фокусы F1 и F2, эксцентриситет e, расстояние между директрисами d, угловой коэффициент k асимптот; составить уравнения асимптот L1 и L2 и директрис D1 и D2.
387. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно:
а) a = 2, b = 3; б) b = 4, c = 5; в) c = 3, e = ; г) a = 8, e = ; д) c = 10, k = ; е) e = , d = .
388. Построить гиперболу; найти ее центр C, полуоси a и b, фокусы F1 и F2, эксцентриситет e, расстояние между директрисами d; составить уравнения асимптот L1 и L2 и директрис D1 и D2:
а) 16x2 - 9y2 - 64x - 54y - 161 = 0; б) 9x2 - 16y2 + 90x + 32y - 367 = 0; в) 16x2 - 9y2 - 64x - 18y + 199 = 0.
389. Вычислить эксцентриситет e гиперболы, если известно:
а) угол между асимптотами равен 60; б) угол между асимптотами равен 90;
в) действительная ось гиперболы видна из фокуса сопряженной гиперболы под углом в 60.
390. Найти угол между асимптотами гиперболы, если расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами.
391. На гиперболе = 1 найти точку, расстояние которой от левого фокуса в 2 раза больше расстояния от ее правого фокуса.
392. Составить уравнение касательной к гиперболе = 1 в точке M(5; -4).
393. Составить уравнения касательных, проведенных из точки A(2; 0) к гиперболе = 1.
394. Составить уравнения касательных к гиперболе = 1, параллельных прямой x + y - 7 = 0.
395. Составить уравнения касательных к гиперболе = 1, перпендикулярных к прямой x - 2y = 0.
. Парабола.
396. Построить параболу. Найти ее параметр p, ось симметрии l и фокус F; составить уравнение директрисы D.
а) y2 = 6x; б) x2 = -y в) y2 = - 4x; г) x2 = 5y
397. Написать каноническое уравнение параболы, если известно:
а) l = OX, x < 0, p = ; б) l = OY, точка M (4; -8) лежит на параболе; в) F (0; -3) - фокус параболы
398. Построить параболу; найти ее вершину C, параметр p, ось симметрии l и фокус F; составить уравнение директрисы D:
а) y2 = 4x - 8; б) x2 = 2 - y; в) y = 4x2 - 8x + 7; г) x = - y2 + y
399. Точка M лежит на параболе y2 = 4,5x и находится на расстоянии 9,125 от ее директрисы. Найти расстояние от точки M до вершины параболы.
400. Через фокус параболы y2 = 2px проведена хорда, перпендикулярная к ее оси. Найти длину этой хорды.
401. Составить уравнения касательных, проведенных из точки A(5; -7) к параболе y2 = 8x .
402. Составить уравнения касательных к параболе y2 = 12x, параллельных прямой 3x - y + 5 = 0.
403. Составить уравнения касательных к параболе y2 = 12x, перпендикулярных к прямой 2x + y = 7.
Дополнительные задачи.
404. Найти расстояние от эллипса + = 1 до прямой 2x - 3y + 25 = 0.
405. Найти расстояние от гиперболы = 1 до прямой 3x + 2y + 1 = 0.
406. Найти расстояние от параболы y2 = 64x до прямой 4x + 3y + 16 = 0.
407. Из левого фокуса эллипса + = 1 под углом α = - arctg 2 ( < α < ) к оси OX направлен луч света. Составить уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от эллипса.
408. Из правого фокуса гиперболы = 1 под углом α = arctg 2 ( < α < ) к оси OX направлен луч света. Составить уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от гиперболы.
409. Из фокуса параболы y2 = 12x под углом α = arctg (0 < α < ) к оси OX направлен луч света. Составить уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.