13. Решение учебных задач на циклы

Используя полученные навыки работы с типовыми алгоритмами, рассмотрим несколько учебных задач различных типов.

На практике нередко встречаются задачи, для которых число шагов цикла заранее неизвестно и не может быть вычислено. Как правило, в этом случае расчетный цикл работает до выполнения некоторого условия, определяющего достижение требуемого результата. Приведем пример подобной задачи.

Пр. Задана функция и ее разложение в ряд:

n=0,1,2,… (здесь n! обозначает факториал числа n, равный 1*2*3*….*n; при этом 0!=1). Найти число элементов ряда k, требуемое для достижения заданной точности ε.

Это – типичная задача на ряды. С ростом n слагаемые становятся все меньше, равно как и модуль разности между двумя соседними слагаемыми. Поэтому под достижением заданной точности будем понимать выполнение условия где S_n, S_n-1 – суммы ряда, вычисленные на текущем и предыдущем шагах цикла, ε задается малым числом, от 10^-6 и ниже. Для вычисления x²ⁿ введем переменную xn, которую на каждом шаге цикла будем домножать на x², аналогично, для вычисления текущего значения факториала используем переменную nf. Иной подход потребовал бы большого количества повторных вычислений на каждом шаге цикла, плюс был бы чреват большими потерями точности. Для вычисления (-1)ⁿ было бы странно использовать формулу a^x=e^{xln a} – вполне достаточно завести целочисленную переменную znak, равную 1, которая на каждом шаге цикла будет менять свое значение на противоположное оператором znak:=-znak;. Кроме того, так как требуемое число шагов заранее неизвестно, используем для всех основных переменных более точный тип double вместо real.

Реализуем все сказанное в следующей программе:

{$N+} {Директива режима совместимости с 80287 - для использования double}

var x,sn,sn1,xn,nf,eps:double;

k,n:longint;

znak:integer;

begin

writeln ('Введите значение x для разложения в ряд:');

read (x);

writeln ('Введите требуемую точность:');

read (eps);

sn1:=0;

sn:=0;

k:=0;

n:=0;

xn:=1;

nf:=1;

znak:=1;

repeat

sn1:=sn; {Текущая сумма стала предыдущей для следующего шага}

sn:=sn+znak*xn/nf; {Выполняем шаг цикла}

{Меняем переменные для следующего шага:}

znak:=-znak;

xn:=xn*sqr(x);

nf:=nf*(n+1)*(n+2);

n:=n+2;

k:=k+1;

until abs(sn1-sn)<eps;

writeln ('Точное значение функции=',cos(x):20:16);

writeln ('Предыдущая сумма=',sn1:20:16);

writeln ('Текущая сумма=',sn:20:16);

writeln ('Число шагов=',k);

reset (input); readln;

end.

До главы "Графика" еще далеко, но даже в обычном текстовом режиме работы можно наглядно проиллюстрировать результаты своих расчетов. Рассмотрим в качестве примера задачу:

Пр. Сформировать на экране изображение функции

f(x)= cos(x)+ln(x)

на интервале [1,5] с шагом 0.2.

Программа с подробными комментариями приводится ниже:

var x,y, { Значение аргумента и функции }

a,b, { Интервал }

ymin,ymax:real; { Минимальное и максимальное Y }

cy, { Позиция столбца на экране }

i:integer; { Счетчик для цикла for }

begin

a:=1;

b:=5;

{ Первый цикл нужен, чтобы определить минимальное и максимальное

значение функции на заданном интервале }

x:=a; { Начинаем с левой границы }

ymin:=1e20; ymax:=1e-20; { Минимуму присваиваем большое число,

максимуму - маленькое }

while x<=b do begin { Пока x не превысило правой границы }

y:=cos(x)+ln(x); { считаем очередное значение функции }

if y<ymin then ymin:=y { Ищем минимум }

else if y>ymax then ymax:=y; { Ищем максимум }

x:=x+0.2; { Переходим к следующему x }

end; { Конец первого цикла }

{ Во втором цикле обработки можно выводить на экран значения функции }

x:=a;

while x<=b do begin { Пока x не превысило правой границы }

y:=cos(x)+ln(x); { считаем очередное значение функции }

cy:=Round ( 8+(y-ymin)*(70/(ymax-ymin)) );

{ Чтобы пересчитать y из границ [ymin,ymax] в границы [8,78] (столбцы

экрана, в которые выводим график), используем формулу

78 - 8

cy= 8 + (y-ymin) * -----------

ymax - ymin

Теперь в переменной cy - нужный нам столбец экрана }

writeln; { Переходим к новой строке на экране }

write (x:7:3,' '); { Выводим значение x и пробел }

for i:=8 to cy do write ('*'); { Рисуем звездочками значение y }

x:=x+0.2; { Переходим к следующему x }

end; { Конец второго цикла }

end.

Пр. Проверить, является ли введенное положительное целое число N простым.

Очевидно, что простое число делится без остатка только на единицу и само на себя. В цикле последовательно проверим остатки от деления N на числа 2,3,…,N-1. Если найден хотя бы один остаток, равный нулю, число не является простым и дальнейшие проверки бессмысленны. Обратите внимание на использование логической переменной-флага s в этой программе.

var n,i:longint;

s:boolean;

begin

write ('N=');

readln (n);

s:=true;

for i:=2 to n-1 do

if n mod i = 0 then begin

s:=false;

break;

end;

if s=true then writeln ('простое')

else writeln ('НЕ простое');

end.