2. Построение законов распределения по опытным данным

В научных исследованиях, а также в практической деятельности при наблюдении значений признака, которые характеризуют с количественной стороны однородные явления, можно встретить случайную величину, закон распределения которой неизвестен для исследователя.

В результате наблюдения или эксперимента получают дискретный или интервальный вариационный ряды, по которому возможно найти его характеристики – среднюю арифметическую, дисперсию, моду, медиану, среднее квадратичное отклонение. Однако на этом этапе изучение статистического материала не должно заканчиваться. Задачей любого научного эксперимента или наблюдения является использование его результатов для прогнозирования развития явления или процесса. Поэтому после получения вариационного ряда возникает первая задача – нахождение неизвестного закона распределения случайной величины, который характерен для этого признака.

Выбор соответствующего закона распределения для случайных величин в общем виде является довольно сложной проблемой. Если исходить только из экспериментальных данных, то иногда возможно подобрать несколько законов, которые будут более или менее точно отображать данное распределение. На практике сначала выбирают определенный закон распределения. Форму этого закона определяют по смыслу явления на основе всестороннего анализа данных. Наиболее распространенные в природе и в общественной жизни случайные величины распределены по нормальному закону, а также по биномиальному закону, по закону Пуассона. Встречаются случайные величины, распределенные по закону Максвелла, которые имеют распределение или – распределение.

После выбора формы закона распределения случайной величины возникает задача нахождения этого закона для конкретной случайной величины. Эта проблема состоит в вычислении оценок параметров плотности вероятности соответствующего закона распределения. Наиболее распространенные из оценок – это математическое ожидание и дисперсия. После оценивания параметров распределения возникает необходимость проверки правильности сделанного выбора закона распределения, то есть проблема согласования теоретического закона с фактическим материалом (вариационным рядом). Решение этой проблемы состоит в применении критериев согласия.

Итак, исследование количественного признака или реального явления или процесса состоит из двух этапов:

а) Построение теоретического закона распределения на основе данного эмпирического материала.

б) Проверка правильности сделанного выбора, проверка согласованности имеющегося эмпирического материала с теоретическим распределением признака у генеральной совокупности.

Анализ второго этапа приводит к выводу о подтверждении выбора теоретического закона или к отклонению этого распределения как теоретического для изучаемого признака. В последнем случае следует вернуться к исходному материалу для нового анализа и выбора другого закона распределения.

Построение нормального закона по эмпирическому вариационному ряду Пусть в результате испытания получен интервальный вариационный ряд признака

Значение показателя			…
Частоты			…

который имеются основания считать распределенным по нормальному закону. Для построения нормального закона необходимо вычислить выборочную среднюю и дисперсию этого распределения. В соответствии с законом больших чисел выборочная средняя является оценкой математического ожидания , а дисперсия – оценкой дисперсии искомого нормального закона. Нормальный закон с параметрами и будет теоретическим законом, который отображает распределение признака в генеральной совокупности.

Пример.

Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Найти общие выражения плотности вероятности и функции распределения за данными