4. Конкретные законы распределения
Каждый закон распределения определяется плотностью вероятности, интегральной функцией, числовыми характеристиками и вероятностью попадания на интервал.
Биномиальный закон – это распределение вероятностей, определяемых по формуле Бернулли. Он рассчитан на дискретные величины и определяется следующими характеристиками.
,
,
.
Закон Пуассона – это распределение вероятностей, определяемых по формуле Пуассона. Он характеризует дискретные величины и определяется такими величинами:
,
,
,
,
,
.
Закон равномерного
распределения
вероятностей – это такой закон
распределения непрерывной случайной
величины, все значения которой лежат
на отрезке
и имеют постоянную плотность вероятности
на этом отрезке.
,
,
.
.
Нормальное распределение – это распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией
,
,
.
Интегральная функция нормального распределения:
.
,
где
– функция Лапласа (интеграл вероятностей).
Нормальной кривой называют график плотности нормального распределения.
Вероятность заданного
отклонения
:
.
|
Правило “трех сигм”: |
Практически достоверным является событие, состоящее в том, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения |
.
Показательное (экспоненциальное) распределение описывается дифференциальной функцией
.
,
,
.
.
|
Пример 16. |
В
цехе 4 мотора. Для каждого мотора
вероятность того, что он включен в
данный момент, равна 0,6. Составить ряд
распределения числа моторов, включенных
в данный момент. Найти
|
Решение.
Случайная величина
– число включенных
моторов – может принимать значения 0,
1, 2, 3, 4. Для каждого возможного значения
случайной величины найдем вероятность
по формуле Бернулли:
Составим ряд распределения:
-
0
1
2
3
4
0,0256
0,1536
0,3456
0,3456
0,1296
Проверка: 0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1296 = 1.
=
.
.
.
|
Пример 17. |
Дана интегральная функция:
Найти: а) дифференциальную функцию; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (1/4; 2/3); в) г)
построить график
|
и
.Решение.
а) Найдем дифференциальную функцию:
б)
.
в)
,
,
.
.
г) графики функций
и
имеют вид (рис. 1, 2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Рис. 1 Рис. 2