VIII. Задания для контрольной работы

I. Решить задачи

1. В урне 10 белых и 16 черных шаров. Наудачу берут 8 шаров. Какая вероятность того, что среди них будет более 5 белых шаров?

2. Буквы разрезной азбуки Б, А, Н, Н, А по одной наугад приставляют друг к другу слева направо. Какая вероятность того, что появиться слово “БАНАН”?

3. Имеется два ящика, содержащих по 20 изделий. В первом ящике – 18, а во втором – 16 стандартных изделий. Из каждого ящика вынимают по одному изделию. Найти вероятность того, что одно изделие будет стандартным, а другое – нестандартным.

4. Десять книг размещены наугад на одной полке. Какая вероятность того, что четыре определенные книги будут стоять рядом?

5. Есть буквы разрезной азбуки П, Р, О, В, Д, С, А, С, Е, М, Т. Из них наугад берут 6 букв и наугад приставляют друг к другу слева направо. Какая вероятность того, что образуется слово “ОДЕССА”?

6. Из колоды в 52 карты вынимают наугад сразу 3 карты. Какая вероятность того, что эти карты будут одной масти?

7. Один раз вместе бросают три игральных кубика. Какая вероятность того, что на них выпадет одинаковое количество очков?

8. Группа из 20 мужчин и 10 женщин наугад делится на две равные подгруппы. Какова вероятность того, что в каждой подгруппе будет 10 мужчин?

9. 15 мужчин случайным образом садятся в один ряд. Найти вероятность того, что трое конкретных мужчин окажутся сидящими рядом.

10. На отдельных перемешанных карточках написано по одной из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Наугад берут 4 карточки и приставляют их друг к другу слева направо. Найти вероятность того, что при этом образуется четное число.

11. На пяти карточках написаны буквы: п, с, о, л, о. После перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность, что получится слово “посол”?

12. 8 различных книг расставлены на полке наудачу. Определить вероятность того, что при этом 3 определенные книги окажутся рядом.

13. Группа из 20 человек, в том числе А и В, располагаются в одну линию в случайном порядке. Найти вероятность того, что между А и В будет сидеть ровно 4 человека.

14. Числа натурального ряда 1, 2, ..., п расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 1 и 2 расположены рядом и притом в порядке возрастания.

15. Из 50 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 30. Билет состоит из трех вопросов. Для сдачи зачета достаточно ответить хотя бы на два вопроса билета. Какова вероятность сдачи зачета?

16. 10 студентов условились ехать определенным поездом, но не договорились о вагоне. Какова вероятность того, что ни один из них не встретится с другим, если в составе поезда 10 вагонов? Предполагается, что все возможности в распределении студентов по вагонам равновероятны.

17. В партии, состоящей из 10 изделий, имеется 4 бракованных. Наудачу выбирается 6 изделий. Какова вероятность того, что среди них окажется менее 3 бракованных?

18. У сборщика 16 деталей. Из них 4 – первого вида, 5 – второго, 3 – третьего и 4 – четвертого вида. Какова вероятность того, что среди 10 взятых одновременно деталей 3 окажется первого вида, 4 – второго, 2 – третьего и 1 – четвертого?

19. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 6; б) сумма выпавших очков равна 6, а произведение 5.

20. Из 10 билетов книжной лотереи выигрышных 4. Наугад покупают 5 билетов. Определить вероятность того, что среди них: а) нет выигрыш­ных; б) хотя бы один выигрышный.

21. Среди 20 студентов группы, из которых 8 юношей, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется хотя бы 5 девушек?

22. Для уменьшения игр на соревнованиях 18 волейбольных команд разбиты на две подгруппы. Какова вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах; в одной подгруппе?

23. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 1/6. Какова вероятность, имея 5 билетов лотереи, выиграть хотя бы по одному билету; по трем билетам?

24. На карточках написаны буквы А, И, Д, О, С, К. Какова вероятность того, что на 4 карточках вынутых по одной можно прочитать слово “диск”?

25. В партии из 25 деталей 18 стандартных. Какова вероятность того, что среди 9 наудачу взятых деталей менее 4 деталей стандартные?

26. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу 12 ламп не менее 10 будут исправны, если из 100 ламп 10 бракованных?

27. Чему равна вероятность того, что при 3 бросаниях игральной кости четыре очка появятся не более двух раз?

28. В урне 13 белых и 7 черных шаров. Наудачу извлекают 5. Какова веро­ятность того, что большинство из них черные?

29. Семь кассет располагаются на полке случайным образом. Какова ве­роятность того, что 4 кассеты с записями одного концерта окажутся рядом?

30. Студент подготовил 24 из 30 вопросов. Если на зачете студенту попадется вопрос, на который он не может ответить, то преподаватель задает еще один вопрос из оставшихся в списке вопросов. Какова вероятность сдачи зачета?

ІI. Решить задачи

1. Вероятность попадания стрелка в мишень при первом выстреле – 0,8, при втором – 0,6, при третьем – 0,7. Сделано три выстрела. Какова вероятность того, что: а) в мишени будет ровно одна пробоина? б) в мишени будет хотя бы одна пробоина?

2. В урне 25 белых и 10 черных шаров. Наудачу берут один за другим без возвращения три шара. Какая вероятность того, что они одинакового цвета?

3. В первой урне 25 белых и 15 черных шаров, во второй урне 14 белых и 11 черных шара. Из первой урны берут наугад шар и перекладывают во вторую. Затем из второй урны наугад берут шар. Какая вероятность того, что он белый?

4. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция фабрики №1 составляет 25%, фабрики №2 – 40%, фабрики №3 – остальная продукция. Известно, что средний процент брака для фабрики №1 равен 3%, для фабрики №2 – 2%, для фабрики №3 – 5%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным.

5. В первой урне 15 белых и 20 черных шаров, во второй урне 14 белых и 16 черных шара, в третьей урне 6 белых и 4 черных шара. Из наугад взятой урны наугад берут шар. Какая вероятность того, что он белый?

6. Вероятность попадания стрелка в мишень при первом выстреле – 0,9, при втором – 0,85, при третьем – 0,7. Найти вероятность: а) ровно одного попадания; б) хотя бы одного попадания.

7. В урне 26 белых и 8 черных шаров. Наугад берут один за другим 2 шара (с возвращением). Какая вероятность того, что они разного цвета?

8. 90% деталей, изготовленных заводом № 1, соответствуют стандарту. Для заводов № 2 и №3 этот показатель соответственно равен – 86% и 99%. На склад поступило 150 деталей завода №1, 160 деталей завода №2, и 40 деталей завода №3. Наугад берут деталь. Найти вероятность того, что она стандартная.

9. В первой урне 20 шаров, из которых 6 белых; во второй урне 8 шаров, из них 7 белых. Из каждой урны берут наудачу один шар, а потом из этих двух шаров наудачу берут шар. Какова вероятность того, что он белый?

10. Два стрелка поочередно стреляют в одну мишень. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. У стрелков по два патрона. Стрельба прекращается, когда кто-то из них попадет в мишень. Найти вероятность поражения цели первым стрелком.

11. В одном ящике содержится 20 стандартных и 6 нестандартных деталей, во втором – 8 стандартных и 4 нестандартных детали. Из первого ящика во второй наугад переложили одну деталь, затем из второго вынули одну деталь. Какова вероятность того, что она стандартная?

12. На склад поступили одинаковые холодильники, произведенные двумя заводами. Первый завод поставляет 60%, второй – 40% всего количества. Первый завод выпускает 92% продукции, способной прослужить гарантийный срок, второй – 95%. Определить вероятность того, что наугад взятый холодильник прослужит гарантийный срок?

13. На базу поступили швейные изделия, из которых 30% изготовлены фабрикой №1, 20% изготовлены фабрикой №2 и 50% изготовлены фабрикой №3. Фабрика №1 выпускает 90% изделий высшего сорта, №2 – 95%, №3 – 97%. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие окажется не высшего сорта?

14. Имеются три урны, в которых по 10 белых и 6 черных шаров и две урны, в которых по 18 белых и 6 черных шаров. Из наудачу выбранной урны случайным образом вынимают шар. Какова вероятность, что он белый?

15. В вычислительной лаборатории имеется 16 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения расчета автомат не откажет, равна 0,95, для полуавтомата эта вероятность равна 0,85. При выполнении некоторого расчета машина не отказала. Какова вероятность, что вычисления производились на автомате?

16. Вероятность того, что во время работы ЭВМ возник сбой в арифметическом устройстве (АУ), в оперативной памяти (ОП), в других устройствах относятся как 2 : 3 : 5. Вероятность обнаружения сбоя в АУ, ОП и других устройствах равны 0,8; 0,9; 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что возникший сбой будет обнаружен.

17. С первого станка на сборку поступает 50%, со второго – 30%, с третьего – 20% всех деталей. Вероятности изготовления бракованной детали для каждого станка равны 0,02; 0,01 и 0,05 соответственно. Поступившая на сборку деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена .на втором станке?

18. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике 15 ламп, среди них 3 нестандартных, во втором 10 ламп, из них одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

19. Два автомата производят детали, которые поступают на один конвейер. Вероятность получения неисправной детали на первом автомате 0,08, на втором – 0,05. Производительность второго автомата выше вдвое, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь будет нестандартной.

20. В пирамиде установлены 16 винтовок, 7 из них – снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки, снабженной оптическим прицелом, равна 0,95, для винтовки без прицела эта вероятность равна 0,7. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с прицелом или без него?

21. В магазин поступили изделия двух заводов, причем с первого поступает изделий в 3 раза больше, чем со второго. Первый завод выпускает в среднем 0,5% брака, второй – 0,1%. Купленное в магазине изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно выпущено первым заводом?

22. В одной урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй – 6 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй наудачу достали один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

23. На конвейер поступают детали из трех цехов. Первый цех дает в среднем 0,3% брака, второй – 0,5%, третий – 0,4%. Найти вероятность поступления на конвейер бракованной детали, если с первого цеха поступило 13000, со второго – 6000, с третьего – 1000 деталей.

24. В ящике содержится 15 деталей завода №1, 20 деталей завода №2, 25 деталей завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 высшего качества, равна 0,9; для деталей завода №2 и №3 эта вероятность равна соответственно 0,7, 0,8. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется высшего качества.

25. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, вынуты наугад 2 шара и переложены в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара, после чего из второй урны выбирают шар. Чему равна вероятность того, что шар белый?

26. В пирамиде установлены 15 винтовок, 10 из них снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки, снабженной оптическим прицелом равна 0,95, для винтовки без прицела эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет выстрел из наугад взятой винтовки.

27. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго – 25%, с третьего – 35% всех деталей. Вероятности изготовления бракован­ных деталей для каждого станка равны соответственно 0,02; 0,05; 0,04. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

28. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится, к числу легковых машин как 5:3. Вероятность того, что будет заправлена грузовая машина равна 0,2; для легковых машин эта вероятность равна 0,4. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

29. Сборщик получил 4 коробки деталей, изготовленных заводом № 1 и 6 коробок, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 – 0,9. Сборщик наугад взял деталь из наудачу взятого ящика. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

30. Две перфораторщицы, на разных перфораторах набили по одинаковому комплекту карт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку равна 0,08, вторая – 0,2. При сверке перфокарт обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица.

ІІI. Решить задачи

1. В цехе 8 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включены 5 моторов; б) включены все моторы.

2. Найти вероятность того, что событие А появится в 4 независимых испытаниях не менее 2 раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,5.

3. На склад магазина поступили изделия, из которых 70% первого сорта. Найти вероятность того, что среди 200 взятых наугад изделий 160 окажутся первого сорта.

4. Фарфоровый завод отправил на базу 10000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу придут ровно 2 поврежденных изделия.

5. Сколько изделий перового сорта с вероятностью 0,0324 можно ожидать в партии из 1000 наугад взятых изделий, если вероятность появления в отдельном испытании равна 0,8?

6. При каждом выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,7. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах будет 3 промаха.

7. Вероятность оказаться бракованной для лампочки равна 0,03. Для контроля отобрано наудачу 1000 лампочек. Найти вероятность того, что частость бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,03 менее, чем на 0,01.

8. Вероятность того, что изделие при транспортировке повредится, равна 0,003. Найти вероятность того, что при транспортировки 10000 изделий будет повреждено 2 изделия.

9. В партии 1000 изделий, среди которых 10 дефектных. При приемочном контроле производится выборка в 100 изделий. Какова вероятность того, что в выборке не окажется дефектных изделий?

10. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность 3 попаданий при 5 выстрелах.

11. Найти вероятность того, что число мальчиков среди 1000 новорожденных более 500, но меньше 540.

12. Производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,9. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие А появится более 80 раз.

13. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность 3 попаданий при пяти выстрелах.

14. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течении 1 минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,03. Какое из событий вероятнее: в течении 1 минуты позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?

15. Известно, что 1/6 часть продукции, поставляемой заводом, второго сорта, а остальная – первого. Завезена партия из 300 изделий. Найти наивероятнейшее число изделий первого сорта, и вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий.

16. Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41-го размера: а) 20 человек; б) не более 30 человек.

17. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, не больше 2 девочек.

18. Вероятность попадания в мишень равна 0,8. Произведено 100 выстрелов. Найти вероятность того, что число попаданий в мишень будет не меньше 70.

19. Найти вероятность того, что событие А появится не менее 3 раз в 6 независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

20. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: не менее 70 и не более 80 раз.

21. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0008. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 3 бракованные книги.

22. Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее 3 раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,7.

23. Произведено 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероят­ность появления события А равна 0,2. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 1 раз.

24. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

25. В среднем на каждых 1000 изделий цех выпускает 250 изделий отличного качества. Найти вероятность того, что из взятых наугад 100 изделий число изделий отличного качества будет не менее 40.

26. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течении 1 минуты равна 0,002. Найти вероят­ность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет на 7 веретенах.

27. Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее 2 раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,3.

28. Вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 70 мальчиков.

29. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: не менее 1400 и не более 1500 раз.

30. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве случаев.