2. Полный факторный эксперимент

Для полного факторного эксперимента, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, число опытов определяется по следующей формуле:

N = 2^k, (3)

где N - число опытов; k - число факторов.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.

Вводят условное обозначение верхнего (+), нижнего (-) и основного уровня (0).Затем строится план эксперимента (например, для двух факторов таблица 1):

Таблица 1

Матрица планирования

Номер точки плана	Факторы		Значение параметра оптимизации
	X1	X2
1	-	-	Y1
2	+	-	Y2
3	-	+	Y3
4	+	+	Y4

В первом столбце знаки чередуются через один, во втором – через два( в третьем – через четыре и т.д. по степеням 2, если необходимо построить план для трех и более факторов).

Составленная матрица планирования должна соответствовать свойствам полного факторного эксперимента.

1. Симметричность относительно центра эксперимента:

= 0, (4)

где j - номер фактора; N - число опытов, j = 1 ... k.

2. Условие нормировки:

= N. (5)

3. Ортогональность матрицы:

=0. (6)

j  u; j, u = 0,1, 2 ... k.

2. Дробный факторный эксперимент

Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели. Другими словами, полный факторный эксперимент обладает большой избыточностью опытов.

Чтобы сократить число опытов нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца. Так, план дробного факторного эксперимента 2^3-1 будет иметь вид, приведенный в таблице 2.

Таблица 2

Матрица планирования дробного факторного эксперимента

Номер точки плана	Факторы			Значение параметра оптимизации
	X1	X2	(X3) X1X2
1	-	-	+	Y1
2	+	-	-	Y2
3	-	+	-	Y3
4	+	+	+	Y4

Запись 2^k-m обозначает: 2 – количество уровней факторов, k - количество факторов, m - количество факторов, введенных вместо эффектов взаимодействия. Эффект взаимодействия, подлежащий замене выбирается из условия максимального разрешения или априорной информации, имеющейся об эффектах взаимодействия.

4. Построение линейной модели процесса

Записываем уравнение процесса в виде:

Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂+…+b_1..kx₁..x_k (7)

Для движения к точке оптимума необходимо вычислить коэффициенты линейной модели по следующей формуле:

b_j = (8)

Следует учесть, что для расчетов используются кодированные значения факторов, которые определяются по формуле:

= ( x _j - x _{j 0} ) / J _j, (9)

где - кодированное значение фактора,x _j - натуральное значение фактора, x _j0 - натуральное значение основного уровня, J _j - интервал варьирования, j - номер фактора.

Коэффициент b₀ есть среднее арифметическое значений параметра оптимизации

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие ограниченности экспериментального материала. Постановка параллельных опытов не дает полностью совпадающих результатов, так как всегда существует ошибка опыта. Ошибка опыта может быть определена по следующим показателям:

1. Среднее арифметическое результатов:

= (y₁ + y₂ + y₃ + . . . + y_n) / n = (10)

где у_l - результаты экспериментов, n - количество опытов в серии.

2. Дисперсия - среднее значение квадрата отклонений величины от ее среднего значения:

), (11)

где (n-1) - число степеней свободы, равное количеству параллельных опытов минус единица.

3. Квадратичная ошибка или стандарт:

. (12)

Стандарт имеет размерность той величины, для которой он вычислен.

Для определения ошибок опыта используем критерий Стьюдента:

, (13)

где t – табличное значение критерия Стьюдента.

Полученные дисперсии проверяем на однородность. Однородность дисперсий означает, что среди всех суммируемых дисперсий нет таких, которые бы значительно превышали все остальные. Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев. Простейшим из них является критерий Фишера, предназначенный для сравнения двух дисперсий. При его использовании в случае, когда дисперсий более 2 критерий Фишера (Ф-критерий) представляет собой отношение большей дисперсии к меньшей. Полученная величина сравнивается с табличной.

Если критерий Фишера, полученный расчетным путем меньше табличного значения, то дисперсии однородны.

При n параллельных опытах и однородности дисперсии, расчет дисперсии параметра оптимизации проводится по следующей формуле:

(14)

Если число опытов различно, то дисперсия параметра оптимизации вычисляется:

, (15)

где f_i =n-1 –число степеней свободы в i-м опыте.

Число степеней свободы дисперсии параметра оптимизации принимается равной сумме чисел степеней свободы дисперсий из которых она вычислена.

После построения модели необходимо провести проверку ее адекватности.

С этой целью вычисляем дисперсию адекватности по формуле:

, (16)

где - значение параметра оптимизации полученное по линейной модели.

Остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности S_ад² – это остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы.

Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов, которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга. Число степеней свободы вычисляется по следующей формуле:

f=N-(k+1), (17)

где N – число серий опытов, k - количество факторов.

Для проверки адекватности модели используется Ф-критерий Фишера, который определяется следующей формулой:

F = S_ад² / . (18)

Если табличное значение критерия больше расчетного, модель адекватна. Столбцы таблицы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя f₁ , строки – для знаменателя f₂.

Если полученная линейная модель неадекватна, то необходимо учесть эффекты взаимодействия или проверить все ли факторы учтены. При построении дробного факторного эксперимента необходимо проверить правильность выбора дробных реплик или достроить план до плана более высокого порядка.

После проверки адекватности модели проводим проверка значимости каждого коэффициента. Для этого необходимо рассчитать дисперсии коэффициента регрессии.

Дисперсия коэффициента регрессии вычисляется по следующей формуле:

S²_{bj} = S_y² / N. (18)

Из формулы видно, что дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят только от ошибки опыта и числа опытов.

На основе полученной дисперсии коэффициентов регрессии строим доверительный интервал по формуле:

b_j = tS{ b_j }, (19)

где S{ b_j } - квадратичная ошибка коэффициента регрессии; t - табличное значение критерия Стьюдента.

Коэффициент является значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. Величина коэффициента регрессии – количественная мера влияния фактора на параметр оптимизации. Чем больше коэффициент, тем сильнее влияние фактора. Знаки коэффициентов говорят о характере влияния факторов.

Если построенная модель адекватна и большинство факторов значимы, то переходим к движение по градиенту, на основе которого исследуем поведение объекта в точках, отличных от заданных.

Изменяя факторы пропорционально величинам коэффициентов регрессии с учетом их знака, мы будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому крутому пути. Поэтому процедура движения к точке стационарной области называется крутым восхождением. Крутое восхождение заканчивают достижением оптимума.

Для определения шага движения находим величины, пропорциональные составляющим градиента: J_jb_j – шаги (таб.6). Уменьшенгием или увеличением всех (j=1..k) составляющих градиента в одинаковое число раз добиваемся того, чтобы при прибавлении полученного шага к основному уровню не выйти за приделы изменения факторов при проведении 7-10 опытов. Последовательным прибавлением полученных шагов (составляющих градиента) к основному уровню не выйти получаем серию опытов крутого восхождения. Эти опыты называются мысленными.

Переходя к кодированным значениям факторов по формуле (9) расчитываем значение параметра оптимизации. Сравнивая значения выходного параметра, полученные при экспериментальных исследованиях и при реализации мысленных опытов определяем значения факторов при оптимальном значении параметра оптимизации.