Закон движения центра масс

Центр масс системы материальных точек (тела) - воображаемая точка , положение которой характеризует распределение массы этой системы (тела).

Для определения положения центра масс достаточно поочередно подвесить тело за две различные точки на его поверхности и провести через точки подвеса вертикали, пересечение которых и даст положение центра масс (центр масс может располагаться вне тела).

Радиус-вектор центра масс

(24)

( и - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n – число материальных точек в системе; - масса системы).

Скорость центра масс

(25)

Учли, что .

Импульс системы материальных точек - равен произведению массы системы на скорость её центра масс

(26)

Учли, что ; .

Закон движения центра масс. Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.

(27)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Груз массы , привязанный к нити длиной , вращают в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью так, что нить описывает коническую поверхность. При этом угол отклонения нити от вертикали (рисунок 6). Найти угловую скорость вращения груза и силу натяжения нити.

Рисунок 6. Груз, привязанный к нити вращается так, что нить описывает коническую поверхность.

Решение. Тело (груз) можно принять за материальную точку, движущуюся с постоянной скоростью по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Это значит, что касательное ускорение , следовательно, трение и любое сопротивление движению отсутствуют и полное ускорение равно нормальному:

, (28)

где - радиус окружности. Тогда на тело действуют только сила тяжести и сила натяжения нити, расположенные в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью рисунка. Запишем второй закон Ньютона:

. (29)

Это уравнение содержит искомую силу натяжения нити и угловую скорость, входящую в выражение (28).

Для перехода к скалярным соотношениям введем оси координат. Одну из осей следует обязательно направить по нормали к траектории к центру окружности, вторую — вертикально. (Третья ось, перпендикулярная плоскости рисунка и направленная по касательной к траектории, не нужна, так как силы и проекций на нее не дают, а касательное ускорение .) Заменяя векторную запись второго закона Ньютона соотношениями между проекциями сил и ускорения на указанные оси, получаем:

; . (30)

На основании этих уравнений имеем:

; . (31)

Радиус окружности, по которой движется тело, . Подставляя выражение (28) в (31), находим:

; .

Задача 2. Брусок массы находится на доске массы , которая лежит на гладкой горизонтальной плоскости (рисунок 7). Коэффициент трения между бруском и доской равен . К доске приложили горизонтальную силу , зависящую от времени по закону , где - постоянная. Найти: 1) момент времени , когда доска начнет выскальзывать из-под бруска; 2) ускорения бруска и доски в процессе движения.

Рисунок 7. Брусок массы находится на доске массы , которая лежит на гладкой горизонтальной плоскости

Решение. Запишем основное уравнение динамики для бруска и доски, взяв положительное направление оси , как показано на рисунке:

, . (32)

По мере возрастания силы будет расти и сила трения (вначале она является силой трения покоя). Но имеет предел . Пока этот предел не достигнут, оба тела будут двигаться как единое целое с одинаковыми ускорениями. Когда же сила достигнет предела, доска начнет выскальзывать из под бруска, т.е.

. (33)

Подставив сюда выражения для и из (32) с учетом того, что , получим

, (34)

где знак равенства соответствует моменту . Отсюда

. (35)

Если , то ; (36)

Если же , то , (37)

. (38)

Графики зависимостей и от показаны на рисунке 8.

Рисунок 8. Графики зависимостей и от .

Задача 3. На наклонной плоскости находится груз , связанный нитью, перекинутой через блок, с другим грузом (рис. 9). Коэффициент трения между первым грузом и плоскостью ; угол наклона плоскости к горизонту . Определить ускорения грузов. При каких значениях система будет находиться в равновесии?

Решение. В задаче рассматриваются два тела,

связанные нитью и совершающие поступательное движение. Если нить, как всегда, считать нерастяжимой, то ускорения этих тел равны по модулю: . На тело массы действуют сила тяжести , сила нормальной реакции наклонной плоскости, сила натяжения нити и сила трения .

Рисунок 9. Система связанных тел,

находящихся на наклонной плоскости.

Сила трения направлена в сторону, противоположную скорости тела; если же направление движения системы неизвестно, то нельзя указать направление силы трения. Но т. к. сила трения не может изменить направление движения на противоположное, то следует определить сначала направление движения при отсутствии трения, а затем уже решать задачу с учетом силы трения.

Второй закон Ньютона для первого тела без учета силы трения имеет вид

. (39)

а тело действуют только сила тяжести и сила натяжения

(40)

Вводя оси координат и заменяя векторные уравнения (39) и (40) скалярными равенствами, получим систему уравнений, решение которой позволит определить направление ускорения . Поскольку тела не имели начальной скорости, мгновенная скорость каждого из тел совпадает по направлению с его ускорением, следовательно, направление силы трения, действующей на тело , будет известно. После этого можно решать задачу уже с учетом силы трения. При этом в уравнение (39) надо ввести в правую часть силу трения, уравнение (40), очевидно, не изменится. При рассмотрении условий равновесия следует повторить все рассуждения, учитывая, что в этом случае

(41)

Для замены векторных уравнений (39) и (40) скалярными введем для описания движения тела оси X и Y, тела — ось η (см. рис. 9). Учитывая, что вследствие невесомости нити и блока , получаем:

, , . (42)

После совместного решения уравнений (42) получаем

. (43)

Проекция вектора на ось X положительна, это значит, что тело движется вниз по наклонной плоскости, следовательно, сила трения направлена вверх по наклонной плоскости.

Можно, не возвращаясь к векторным уравнениям, ввести силу трения в первое из уравнений (42). При этом следует учесть, что

, . (44)

Тогда

, . (45)

Силу нормальной реакции N найдем из уравнения (39), записанного в скалярном виде для проекций на ось Y:

; , (46)

откуда

. (47)

Окончательно

,

(48)

.

Совместное решение системы (48) дает

.

Условия равновесия, соответствующие равенству нулю результирующей силы, действующей на каждое тело, зависят, очевидно, от наличия силы трения и ее направления.

Если трения нет, то, как следует из решения системы (42),

. (49)

В условиях равновесия и . Если , то — тело движется вниз по наклонной плоскости; если , то — тело движется вверх по наклонной плоскости.

В условиях равновесия сила трения является силой трения покоя и ее направление противоположно направлению возможного движения тела .

В первом случае () сила трения направлена вверх по наклонной плоскости, и систему (42) с учетом того, что , можно переписать в виде

, , (50)

откуда

. (51)

Во втором случае () сила трения направлена вниз по наклонной плоскости (рис. 9, пунктир), и уравнения (50) примут вид

, , (52)

откуда

(53)

В обоих случаях сила трения покоя . Запишем выражения (51) и (53) с учетом этого неравенства и выполним вычисления:

; .

Легко видеть, что первое неравенство имеет смысл только когда . Оба неравенства не противоречат друг другу, и равновесие имеет место при .

Предельным значениям массы соответствует наибольшая сила трения покоя (). Если или , то при малейшем толчке (в первом случае — вниз, во втором — вверх) начнется движение системы. В обоих случаях движение будет равномерным.

Задача 4. Тело движется вниз равноускоренно по наклонной плоскости, и зависимость пройденного пути от времени задается уравнением . Найти коэффициент трения тела о плоскость, если угол наклона плоскости к горизонту равен .

Рисунок 10. Тело движется вниз равноускоренно по наклонной плоскости.

Решение. Коэффициент трения определяет силу трения при движении тел. Для нахождения рассмотрим, под действием каких сил находится тело. В данном случае на тело действуют силы: сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения .

Выберем систему координат так, чтобы ось была параллельна наклонной плоскости (рисунок 10). Тогда, согласно второму закону Ньютона, запишем проекции сил на оси:

на : ; (54)

на : . (55)

Преобразовывая это выражение, можно найти коэффициент трения :

. (56)

Определим величину ускорения :

. (57)

Подставив в формулу для численные значения входящих в нее величин, получим коэффициент трения:

.