Задачи для самостоятельного решения

1 Сформулировать уравнения движения частицы массы m: 1) в проекциях на оси x,y,z декартовой системы координат; 2) в проекциях на направления касательной и нормали к траектории.

2 Две шайбы массами m₁ и m₂, скользившие по гладкой горизонтальной поверхности, столкнулись друг с другом. В момент столкновения ускорение первой шайбы a₁ . Найти ускорение второй шайбы.

3 Зависимость радиус-вектора частицы от времени t описывается законом , где a и 𝜔 – положительный постоянные. Считая известной массу частицы, найти 𝜔 силу, действующую на частицу и описать характер ее движения.

4 Частица движется вдоль оси x по закону x=αt²-βt³, где α и β - положительные постоянные. В момент t=0 сила, действующая на частицу, равна F₀. Найти значения F_x силы в тот момент, когда частица опять окажется в точке х₀.

5 Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону D=0,4м/c³). Определите силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

Ответ: 3,2H.

6 Тело массой m движется так, что зависимость пройденного пути от времени описывается уравнением s=Acos, где А и 𝜔 – постоянные. Найдите закон изменения силы от времени.

Ответ: F=-mA𝜔²cos𝜔t.

7 Тело массой m движется в плоскости xy по закону x=Acos𝜔t, y=Bsin𝜔t, где А, В и 𝜔 – некоторые постоянные. Определите модуль силы, действующей на это тело.

Ответ: .

8 Частица массой m движется под действием силы , где и 𝜔 – некоторые постоянные. Определите положение частицы, т.е. выразите ее радиус-вектор как функцию времени, если в начальный момент времени t=0, и .

Ответ: .

9 Молот массой 1т падает с высоты 2м на наковальню. Длительность удара 0,01с. Определить среднее значение силы удара.

Ответ: 626кН.

10 К нити подвешен груз массой 500г. Определите силу натяжения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2; 2) опускать с ускорением 2.

Ответ: 1) 5,9H; 2) 3,9H.

11 К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами l,5кг и 3кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

Ответ: 39,2Н.

13 Тело массой 2кг падает вертикально с ускорением 5м/с². Определите силу сопротивления при движении этого тела.

Ответ: 9,62Н.

14 Аэростат массой 250 кг начал опускаться с ускорением равным 0,20м/с². Определите массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивления воздуха нет.

15 Два груза (массами 500г и 700г) связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К первому грузу приложена горизонтально направленная сила, равная 6Н. Пренебрегая трением, определите: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити.

Ответ: 1) 5м/с²; 2) 3,5Н.

Рисунок 11. Система связанных грузов, движущихся

по гладкой горизонтальной поверхности

16 Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с неравными массами m₁ и m₂ (например m₁>m₂), которые подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити Т; 3) силу F, действующую на ось блока.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

17 Чтобы определить коэффициент трения µ между деревянными поверхностями, брусок положили на доску и стали поднимать один конец доски до тех пор, пока брусок не начал по ней скользить. Это произошло при угле наклона доски, равном 14°. Чему равен µ?

Ответ: 0,25.

18 В установке углы α и β наклонных плоскостей с горизонтом соответственно равны 30° и 45°, массы тел равны 0,45кг и 0,5кг. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение, с которыми движутся тела; 2) силу натяжения нити.

Ответ: 1) 1,33м/с²; 2) 2,8Н.

Рисунок 12. Рисунок установки к задаче 18

19 На тело массой 10кг, лежащее на наклонной плоскости (угол равен 20°), действует горизонтально направленная сила, равная 8Н. Пренебрегая трением, определите:1) ускорение тела; 2) силу, с которой тело давит на плоскость.

Ответ: 1) 4,11м/с²; 2) 89,4Н.

Рисунок 13. Тело, движущееся вдоль наклонной плоскости

20 С вершины клина, длина которого 2м и высота 1м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином равен 0,15. Определите: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время прохождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у основания клина.

Ответ: 1) 3,63м/с², 2) 1,05с, 3) 3,81м/с.

21 На наклонной плоскости с углом α наклона к горизонту, равном 30°, скользит тело. Определите скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения равен 0,15.

Ответ: 7,26м/с.

22 Вагон массой 1т спускается по канатной железной дороге с уклоном 15° к горизонту. Принимая коэффициент трения равным 0,05, определите силу натяжения каната при торможении вагона в конце спуска, если скорость вагона перед торможением равна 2,5м/с, а время торможения – 6с.

Ответ: 2,48кН.

Рисунок 14. Вагон, спускающийся по канатной

железной дороге с уклоном.

23 Грузы одинаковой массы, равной 0,5кг, соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола. Коэффициент трения груза о стол равен 0,15. Пренебрегая трением в блоке, определите: 1) ускорение, с которым движутся грузы; 2) силу натяжения нити.

Ответ: 1) 4,17м/с²; 2) 2,82Н.

24 В установке угол α наклона плоскости с горизонтом равен 30°, массы тел одинаковы (по 1кг). Считая нить и блоки невесомыми и пренебрегая трением оси блока, определите силу давления на ось, если коэффициент трения между наклонной плоскостью и лежащим на ней телом 0,1.

Ответ: 13,5Н.

Рисунок 15. Установка к задаче 24.

25 Два соприкасающихся бруска лежат на горизонтальном столе, по которому они могут скользить без трения. Масса первого бруска 2 кг, масса второго бруска 3кг. Один из брусков толкают с силой 10Н. 1)Найти силу, с которой

бруски давят друг на друга в случае, если сила приложена: а) к первому бруску; б) ко второму бруску. 2) Что примечательного в полученных результатах?

Ответ: 1) а) 6H; б) 4H; 2) сумма результатов в случаях а) и б) равна силе, действующей на один из брусков.

Рисунок 16. Два соприкасающихся бруска, движущиеся на горизонтальном столе.

26 Решить предыдущую задачу в предположении, что коэффициент трения между бруском и столом равен 0,1 для первого бруска и 0,2 для второго бруска.

Ответ: а) 7,2H; б) 2,8H.

27 Решить предыдущую задачу, положив коэффициент трения между бруском и столом равным 0,2 для первого бруска и 0,1 для второго бруска. Сопоставить результаты двух предыдущих задач и данной задачи.

Ответ: а) 4,8H; б) 5,2H.

28 Два соприкасающихся бруска скользят по наклонной доске. Масса первого бруска 2 кг, масса второго бруска 3кг. Коэффициент трения между бруском и доской равен 0,1 для первого бруска и 0,2 для второго бруска. Угол наклона доски 45°. 1) Определить: а) ускорение, с которым движутся бруски, б) силу, с которой бруски давят друг на друга. 2) Что происходило бы в случае, когда коэффициент трения между бруском и блоком для второго блока был бы больше, чем для первого?

Ответ: 1) a) 5,8м/с²; б) 0,83H.

Рисунок 17. Два соприкасающихся бруска, скользящих по наклонной доске.

29 На горизонтальном столе лежат два тела массы 1кг каждое. Тела связаны невесомой нерастяжимой нитью. Такая же нить связывает второе тело с грузом массы 0,5кг. Нить может скользить без трения по изогнутому желобу, укрепленному на краю стола. Коэффициент трения первого тела со столом 0,1, второго тела – 0,15. Найти: 1) ускорение, с которым движутся тела; 2) натяжения нити, связывающей первое и второе тела; 3) натяжение нити, на которой висит груз.

Ответ: 1) 0,98м/с²;2) 2H; 3) 4,4H.

Рисунок 18. Установка к задаче 29.

30 На гладкой горизонтальной поверхности находится доска массой m₁, на которой лежит брусок массой m₂. Коэффициент трения бруска о поверхность доски равен µ. К доске приложена горизонтальная сила F, зависящая от времени по закону F=At, где А – некоторая постоянная. Определите: 1) момент времени t₀, когда доска начнет выскальзывать из-под бруска; 2) ускорения бруска а₁ и доски а₂ в процессе движения.

Ответ: 1) ; 2) .

31 На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту 35° положена доска массой 2кг, а на доску – брусок массой 1кг. Коэффициент трения между бруском и доской 0,1, а между доской и плоскостью 0,2. Определите: 1) ускорение бруска; 2) ускорение доски; 3) коэффициент трения между доской и плоскостью, при котором доска не будет двигаться.

Ответ: 1) 4,82м/с²; 2) 3,62м/с²; 3) .

32 На тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности, в момент t=0 начала действовать сила, зависящая от времени как F=kt, где k – постоянная. Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом. Найти: 1) скорость тела в момент отрыва от плоскости; 2) путь, пройденный телом к этому моменту.

Ответ: 1) ; 2) .

33 К бруску массы m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, положили постоянную по модулю силу F=mg/3. В процессе его прямолинейного движения угол α между направлением этой силы и горизонтом меняют по закону α=ks, где k – постоянная, s – пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла α.

Ответ: .

34 Небольшому телу сообщают начальный импульс, в результате чего оно начинает двигаться поступательно без трения вверх по наклонной плоскости со скоростью 3м/с. Плоскость образует с горизонтом угол, равный 20 Определить: 1) на какую высоту поднимется тело; 2) сколько времени тело будет двигаться вверх до остановки; 3) сколько времени тело затратит на скольжение вниз до исходного положения; 4) какую скорость имеет тело в момент возвращения в исходное положение.

Ответ: 1) 0,46м, 2) 0,89c, 3) 0,89c, 4) 3м/с.

35 Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол 15° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в два раза меньше времени спуска.

Ответ: 0,16.

36 Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость v₀. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен µ. При каком значении угла наклона α шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

Ответ: при .

37 Небольшое тело m начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором А (рис. 20). Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,14. При каком значении угла α время соскальзывания будет наименьшим?

Ответ: 49⁰.

Рисунок 19. Установка к задаче 37.

38 Брусок массы m тянут за нить так, что он движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения µ. Найти угол α, при котором натяжение нити будет наименьшим. Чему оно равно?

Ответ: .

39 Катер массой 2т с двигателем мощностью 50кВт развивает максимальную скорость 25м/с. Определить время t, в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости.

Ответ: 25с.

40 Снаряд массой 10кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью 800м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент, сопротивления 0,25кг/с.

Ответ: 44,5с.

41 С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над поверхностью Земли, сброшен груз массой 100кг. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости, определить, через какой промежуток времени ускорение груза будет равно половине ускорения свободного падения. Коэффициент сопротивления 10кг/с.

Ответ: 6,93с.

42 Моторная лодка массой 400кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги мотора равна 0,2кН. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, определить скорость о лодки через 20с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления 20кг/с.

Ответ: 6,3м/с.

43 Катер массой 2т трогается с места и в течение времени 10с развивает при движении по спокойной воде скорость 4м/с. Определить силу тяги мотора, считая ее постоянной. Принять силу сопротивления движению пропорциональной скорости; коэффициент сопротивления 100кг/с.

Ответ: 1,03кН.

44 Парашютист, масса которого 80кг, совершает затяжной прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, определить, через какой промежуток времени скорость движения парашютиста будет равна 0,9 от скорости установившегося движения. Коэффициент сопротивления 10кг/с. Начальная скорость парашютиста равна нулю.

Ответ: 18,4с.

45 Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость с v₀ до v. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.

Ответ: .

46 Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, Составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути х по закону µ=γx, где γ - постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути.

Ответ: .

47 На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения µ лежит тело массы m. В момент t=0 к нему приложили горизонтальную силу, зависящую от времени как F=bt, где b – постоянный вектор. Найти путь пройденный телом за первые t секунд действия этой силы.

Ответ: движение.

48 Частица массы m движется равномерно по окружности радиуса R со скоростью v. 1) найти среднюю силу, действующую на частицу на пути, равном половине окружности, показать направление силы на рисунке. 2) Сравнить <F> и модуль нормальной составляющей силы F_n , действующей на частицу.

49 Частица массы m прошла ¼ окружности радиуса R, двигаясь с постоянным по модулю тангенциальным ускорением a_τ и нулевой начальной скоростью. 1) найти и показать на рисунке импульс частицы p в конечной точке. 2) определить среднюю силу, действующую на частицу и показать ее на рисунке.

50 Эстакада на пересечении улиц имеет радиус кривизны равный 1000м. В верхней части эстакады в дорожное покрытие вмонтированы датчики, регистрирующие силу давления на эстакаду. Отмечающий эту силу прибор проградуирован в кгс (1кгс=9,81Н). Какую силу давления показывает прибор в момент, когда по эстакаде проезжает со скоростью 60км/ч автомобиль массой 1т.

Ответ: 972кгс.

51 Шарик массы 0,2 кг привязанный к закрепленной одним концом нити длины 3 м, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса 1м. Найти число оборотов шарика в минуту и натяжение нити.

Ответ: 8мин^-1; 2,1H.

52 Горизонтально расположенный диск вращается вокруг проходящей через его центр вертикальной оси с частотой равной 10 оборотов в минуту. На каком расстоянии от центра диска может удержаться лежащее на диске небольшое тело, если коэффициент трения равен 0,2.

Ответ: R≤1,8м.

53 Материальная точка массой 1кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиусом 1,2м в течение времени 2с. Найти изменение импульса точки.

Ответ: 1,33кгм/с.

54 Тело массой 5кг брошено под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 20м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 1) импульс силы, действующей на тело, за время его полета; 2) изменение импульса тела за время полета.

Ответ: 100 Нс; 100кгм/с.

55 Самолет делает «мертвую петлю» радиуса 500м с постоянной скоростью 360км/ч. Найти вес летчика массы 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли.

56 Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти: 1) модуль полного ускорения шарика и силу натяжения нити в зависимости от β-угла отклонения нити от вертикали; 2) силу натяжения нити в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна; 3) угол β между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения шарика направлен горизонтально.

57 Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол β отклонения нити в крайнем положении.

58 Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиус-вектором, характеризующим положение тела А относительно центра сферы в момент отрыва от нее, а также скорость тела в этот момент.