11. Управление численностью видов в экосистемах

Рассмотрим задачу управления вольтерровской системой

,

где вектор управления U = (u₁, u₂,…, u_n) выбирается из некоторого множества допустимых управлений U. Предположим, что в этой системе при U  0 существует устойчивое состояние равновесия Х^*. Рассмотрим задачу: найти такой вектор управления u  U, чтобы система получила новое устойчивое положение равновесия . Таким образом, поставлена задача перевода экосистемы на новый режим, при котором поддерживалась бы заданная численность популяций.

Выберем в качестве допустимых управлений векторы вида

U = CX,

где матрица С = diag{c_i} . Перепишем рассматриваемую систему в виде

и подставим вместо управления u_i его выражение через диагональную матрицу

.

Найдем теперь с_i , исходя из условия, что эта система имеет положение равновесия . Для этого необходимо, чтобы при X = выражение в скобках равнялось нулю. Отсюда получаем

c_i = .

Таким образом, если в рассматриваемой системе управление выбирается в виде U = CX с указанными коэффициентами с_i , то у нее появляется новое положение равновесия , причем устойчивое, если было устойчивым положение равновесия , поскольку на коэффициенты матрицы сообщества управление не оказывает влияния.