3. Дифференцирование и интегрирование данных

Фильтр Савицкого-Голея может быть использован и для дифференцирования или интегрирования данных. Для этого следует лишь соответствующим образом выбрать весовые коэффициенты. Численные методы дифференцирования и интегрирования сигналов широко применяются в стандартном математическом обеспечении аналитических приборов.

Дифференцирование позволяет устранить постоянный сигнал фона и улучшить разрешение пиков. Интегрирование пиков необходимо для нахождения их площади в количественном анализе.

3. 4.3 Фильтрация данных с предварительным преобразованием сигнала

Существуют методы фильтрации, основанные на предварительном математическом преобразовании данных, последующем умножении результата на некоторую фильтрующую функцию и, наконец, обратном преобразовании. Чаще всего для этого используют фурье-преобразование.

1. Фурье-преобразование

Рассмотрим принцип фурье-преобразования на примере электромагнитных спектров. Обычная форма представления спектра — зависимость интенсивности от частоты излучения. Однако любой спектр можно представить и как зависимость интенсивности от времени. В этом случае он выглядит как суперпозиция периодических синусоидальных колебаний. На рис. 3 показано представление спектра, состоящего из двух линий (частот), в разных формах.

Рис. 3 Принцип фурье-преобразования. Суммарный сигнал (а) состоит (б) из двух синусоид с периодами t₁ = 1 с и t₂ = 1/3 с, (в) — этот же спектр, представленный в виде зависимости интенсивности от частоты.

В данном случае преобразование сигнала из функции, представленной в шкале времени f(t), в шкалу частот F() дает спектр, состоящий всего из двух линий с частотами 1 и 3 с^-1. Однако подобным образом можно преобразовать и произвольный спектр, в том числе с непрерывным распределением частот.

Представление спектра в шкале времени дает информацию о суммарной амплитуде сигнала, однако информация о частотах в такой форме представления непосредственно не видна. Представление же в шкале частот дает информацию лишь об относительных интенсивностях сигнала при тех или иных частотах, но не его суммарной амплитуде.

В традиционных вариантах спектроскопических методов спектр регистрируют в шкале частот. Ряд новых методов таких, как ИК-спектроскопия с фурье-преобразованием или импульсная ЯМР-спектроскопия, основаны на регистрации спектра в шкале времени. Для перехода к привычной шкале частот в этом случае необходимо выполнить фурье-преобразование.

2. Дискретное фурье-преобразование

Если спектр, зарегистрированный в шкале времени, оцифровать, т.е. представить в виде дискретной последовательности значений интенсивности, то к нему можно применить дискретное фурье-преобразование. Пусть оцифрованный спектр представляет собой последовательность из n значений сигнала, находящихся на равных расстояниях друг от друга по шкале t. Тогда преобразование спектра в шкалу частот осуществляется как

_n

F() = 1/n  f(t)e^{-(2it/n)} (12)

^t=-1

где i = -1 – мнимая единица. Экспоненциальная функция от мнимого числа равна

e^{-(2it/n)} = cos(2t/n) – isin(2t/n) (13)

Полученная в результате преобразования функция F() имеет действительную и мнимую часть. Спектр в шкале частот представляет собой ее действительную составляющую.