Тема 4. Планирование загрузки производственных мощностей

4.1. Модель оптимального плана загрузки оборудования

Задача планирования производства основана на распределении выпуска продукции между отдельными предприятиями, производственными подразделениями, цехами, поточными линиями, группами и отдельными видами оборудования, рабочими местами, является одной из основных задач технико-экономического и оперативно-производственного планирования на предприятиях.

Математическое описание оптимальных планов загрузки оборудования (оптимального распределения выпуска продукции) принципиально не отличается от математического описания транспортной задачи, но дополнительные параметры усложняют эти модели и затрудняют решение задачи.

Рассмотрим построение типовой математической модели оптимальной загрузки оборудования на примере хлебопекарного производства.

Хлебокомбинат, оснащенный хлебопекарными печами четырех систем (П₁, П₂, П₃, П₄), вырабатывает четыре сорта штучного формового хлеба (М₁, М₂, М₃, М₄). Сорт хлеба М₂ выпекается только в печах П₁, П₂, остальные сорта – на любых печах.

План производства составляется на месяц. Исходя из этого периода работы печей, в табл. 5.1 показаны: потребность в хлебе каждого сорта в тоннах; суточная производительность в тоннах каждой печи по каждому сорту хлеба.

Таблица 4.1

Система печи	Фонд рабочего времени работы печи, сутки (дни)	Суточная производительность по каждому сорту хлеба и потребность в нем, т
		М1	М2	М3	М4
		520	520	408	348
П1	30	12	14	11	10
П2	30	13	15	12	11
П3	30	15	-	15	13
П4	26	26	-	24	22

Печь П₄ работает с выходными днями, т.е. 26 суток, остальные печи останавливаются на ремонт и осмотр на 1 сутки.

В качестве критерия получения оптимального плана загрузки печей выберем производственные издержки, т.е. затраты на выпуск хлеба без стоимости муки и прочих основных материалов, которые зависят от систем печей и сорта выпекаемого хлеба (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Система печи	Сорт хлеба и издержки производства, руб
	М1	М2	М3	М4
П1	13	12	14	13
П2	12	11	13	15
П3	14	-	15	16
П4	11	-	12	14

Обозначим Х_ij –число суток работы печи П_i по выпечке хлеба М_j.

При этом ограничения по срокам работы можно записать в следующем виде:

Х₁₁ + Х₁₂+ Х₁₃+ Х₁₄  30

Х₂₁ + Х₂₂+ Х₂₃+ Х₂₄  30 ( 4.1 )

Х₃₁ + Х₃₃+ Х₃₄  30

Х₄₁ + Х₄₃+ Х₄₄  26

Суммарная выпечка хлеба каждого сорта на печах всех систем должна равняться потребностям в хлебе этого сорта, т.е.

12Х₁₁ +13 Х₂₁+ 15Х₃₁+ 26Х₄₁ = 520

14Х₁₂ + 15Х₂₂ = 520 ( 4.2 )

11Х₁₃ + 12Х₂₃+ 15Х₃₃+ 24Х₄₃ = 408

10Х₁₄ + 11Х₂₄ + 13Х₃₄+ 22Х₄₄ = 348

Общая сумма производственных издержек, связанных с выполнением месячного плана производства хлеба:

F =1312Х₁₁+1214Х₁₂+1411Х₁₃+…+1422Х₄₄=156Х₁₁+168Х₁₂+154Х₁₃+…+308Х₄₄ = min ( 4.3 )

Задача формализуется следующим образом: распределить выпуск хлеба четырех сортов между печами систем так, чтобы время работы каждой печи не превышало установленного фонда рабочего времени (4.1), выпуск хлеба каждого сорта соответствовал установленной потребности (4.2) и суммарные издержки производства (4.3) были бы наименьшими.

В общем виде модель можно формализовать следующим образом:

1) определить неотрицательные значения неизвестных Х_ij обеспечивающие min издержек производства: , ( 4.4 )

при ограничениях:

2) на фонд рабочего времени: , (i=1,2,…,m), ( 4.5 )

3) на потребности в хлебе: , (j=1,2,…,n) ( 4.6 )

4) при неотрицательности параметров Xij  0, ij  0, ( 4.7 )

где т - число машин (печей);

п - число видов (сортов) продукции;

а_i - фонд рабочего времени i-й машины;

b_j - потребность в j-м виде (сорте) продукции;

_ij - производительность (мощность) i-й машины по выпуску j-го вида продукции в единицу времени;

C_ij - издержки производства на единицу продукции на i-й машине при выпуске j-го вида продукции;

X_ij - искомые неизвестные, обозначающие время работы i-й машины на выпуске j-го вида продукции.