4.2. Расчет планов загрузки оборудования

Цель составления плана заключается в распределении производства хлеба четырех сортов между печами четырех систем таким образом, чтобы их производственные мощности использовались более полно, а издержки производства при этом были наименьшими.

В отличие от транспортных задач, в которых запасы и потребности выражены одинаковой единицей измерения, здесь нет запасов продукции. Вместо них для каждой печи установлен рабочий период, выраженный в днях (сутках) работы за месяц. Потребность в хлебе выражается в тоннах выпуска за месяц. Производительность выражена величиной хлеба (в тоннах) каждого сорта, выпускаемого каждой печью в сутки.

В задачах, где соотношения в производительности разных машин при выпуске разной продукции установить невозможно, применяются специальные способы распределения и проверки его на оптимальность, в частности ламбда-метод (ламбда-алгоритм), для иллюстрации которого составим табл. 4.3.

Таблица 4.3

Система печи и время ее работы (дни)		Сорт хлеба и потребность в нем, т
		М1	М2	М3	М4	Ф
		520	520	408	348	4
П1	30	12 13	14 12 (5)	11 14 (24)	10 13 (1)	1 0
П2	30	13 12	15 11 (30)	12 13	11 15	1 0
П3	30	15 14	ij Сij	15 15	13 16 (26)	1 0 (4)
П4	26	26 11 (20)		24 12 (6)	22 14	1 0

В левом верхнем углу таблицы записана суточная производительность печей, в правом верхнем - издержки производства на 1 т. Данная задача имеет открытую модель, поэтому в столбце Ф показан фиктивный продукт. Исходное распределение получено способом минимального элемента столбца (издержки производства) следующим образом.

В первом столбце заполняется клетка П₄М₁ с минимальными издержками производства=11. Для выпуска хлеба потребуется 520:26 = 20 дней работы печи.

Во втором столбце в клетке П₂М₂ за 30 дней работы печи П₂ будет выработано: 3015=450 т хлеба, остальную часть будет вырабатывать печь П₁ в течение (520-450):14 = 5 дней. Эта величина записывается в клетку П₁М₂.

В третьем столбце в клетку с минимальными издержками П₄М₃ можно записать оставшееся 6 дней работы печи П₄. За это время будет выработано 624 = 144 т хлеба сорта М₃, остальную часть (408 – 144):11 = 24 дня записываем в клетку П₁М₃.

В четвертом столбце в клетку П₁М₄ можно записать только 1 день, за который будет выработано 10 т хлеба. Остальную часть хлеба сорта М₄ можно выпекать только на печи П₃. за (348-10):13 = 26 дней. Оставшиеся в резерве 4 дня работы печи П₃ записываются в фиктивном столбце Ф.

Полученный исходный план является допустимым, так как потребности в хлебе каждого сорта полностью удовлетворяются и время работы каждой печи полностью распределено.

В связи с тем, что записанные в клетках величины выражены в днях, необходимо издержки производства на 1 т преобразовать в издержки на 1 день работы печей. Для этого издержки на 1 т умножаются на суточную производительность, и полученный результат записывается в верхнем правом углу клетки (табл. 4.4).

Суммарные издержки производства определяются путем суммирования произведений числа рабочих дней на уровни соответствующих им издержек производства.

Для исходного плана (табл. 5.4) суммарные издержки будут составлять:

F = 5168 + 24154 + 1130 + 30165 + 26208 +40 + 20286 + 6336 = 22760 руб.

Для получения оптимального плана применяется метод потенциалов в преобразованном виде. В отличие от транспортной задачи, где С_ij = U_i + V_j, в ламбда-методе потенциалы строк и столбцов должны быть связаны так же, как связаны между собой показатели строк и столбцов. В нашем случае эту связь характеризует переводной коэффициент _ij (суточная производительность).

Потенциал строк соответствует дневным издержкам производства, а столбцов — издержкам на 1 т. Так как суточные издержки равны издержкам на 1 т, умноженным на суточную производительность, то С_ij = U_i + V_j_ij (в заполненной клетке), откуда:

потенциал строки U_i = С_ij - V_j_ij ,

потенциал столбца .

Таблица 4.4

Система печи и время ее работы (дни)		Сорт хлеба и потребность в нем, т					Потенциал строки
		М1	М2	М3	М4	Ф
		520	520	408	348	4
П1	30	12 156 138	14 168 (5)	11 154 (24)	10 130 (1)	1 0 -30	-30
П2	30	13 156 137	15 165 (30)	12 156 159	11 165 131	1 0 -45	-45
П3	30	15 210 210		15 225 255	13 208 (26)	1 0 (4)	0
П4	26	26 286 (20)		24 336 (6)	22 308 280	1 0 -72	-72
Потенциал столбца		14	14	17	16	0

Расчет потенциалов всегда начинается с фиктивного столбца, потенциал которого должен быть равен нулю. По заполненной в нем клетке определяют потенциал строки П₃, который равен нулю, так как в фиктивном столбце производительность печей равна единице, а сумма издержек равна нулю:

U₃ = C₃₅ -V₅₃₅ = 0 - 01 = 0.

По заполненной клетке П₃М₄ определяем потенциал столбца М₄:

.

По заполненной клетке П₁М₄ определяем потенциал строки П₁:

U₁ = C₁₄ -V₄₁₄ = 130 - 1610 = -30.

По заполненным клеткам П₁М₂ и П₁М₃ определяем потенциалы столбцов:

М₂ : ,

М₃ : .

По заполненной клетке П₂М₂ определяем потенциал строки П₂:

U₂ = C₂₂ -V₂₂₂ = 165 - 1415 = -45.

По заполненной клетке П₄М₃ определяем потенциал строки П₄:

U₄ = C₄₃ –V₃₄₃ = 336 - 1724 = -72.

По заполненной клетке П₄М₁ определяем потенциал столбца М₁:

.

Затем для свободных клеток рассчитываются суммы потенциалов:

клетки П₁М₁ : С₁₁ = U₁ +V₁₁₁ = -30 + 1412 = 138,

клетки П₁Ф : С₁₅ = U₁ +V₅₁₅ = -30 + 01 = -30,

клетки П₂М₁ : С₂₁ = U₂ +V₁₂₁ = -45 + 1413 = 136 и т.д.

Исходный план не оптимальный, так как в двух клетках сумма потенциалов превышает величину элемента. Наибольшее превышение в клетке П₃М₃ (255 – 225 = 30) ее и нужно заполнять в первую очередь.

При решении задач ламбда-алгоритмом перераспределение величин имеют особенности:

1. К свободной клетке цепь строится по общим правилам, а для балансировки итогов построенная цепь соединяется с клеткой фиктивного столбца (рис. 4.1).

- П₁М₃ П₁М₄ +

11 154

(24)

10 130

(1)

15 225

13 208

(26)

1 0

(4)

+ П₃М₃ П₃М₄ - П₃Ф

Рис. 4.1

2. Наименьшая из отрицательных величин, записываемая в свободную клетку определяется особым образом.

Обозначим изменение величин, связанное с заполнением свободной клетки _ij и построим уравнения по строкам и столбцам. Из условия баланса по строке П₃ вытекает, что сумма изменений в трех клетках равна нулю, т.е.: ₃₃ +₃₄ +_{3 5} = 0, ( 4.8 )

в строке П₁: ₁₃ +₁₄ = 0.

Баланс по столбцу отличается от строки из-за разной производительности печи, так запись 1 из клетки П₁М₃ в П₃М₃ вызовет нарушение баланса (в П₃М₃ увеличение на 115 = 15 т, а в П₁М₃ уменьшение на 111 = 11 т).

Следовательно, для сохранения баланса в уравнении должны учитываться производительности печей: 11₁₃ +15₃₃ = 0, ( 4.9 )

10₁₄ +13₃₄ = 0.

Таким образом, получаем систему 4 уравнений с 5 неизвестными ( 4.8 ), ( 4.9 ).

Для ее решения примем ₃₃ = 1 (запись в свободную клетку) и найдем остальные:

; ₁₄ = 1,36 ; ; ₃₅ = -1 + 1,05 = 0,05 .

Эти значения показывают, на сколько произойдет изменение в соответствующих клетках при записи в клетку П₃М₃ величины равной единице.

3. Для определения величины, которую можно записать в свободную клетку, необходимо значения в клетках, у которых _ij отрицательны, разделить на соответствующие _ij:

Наименьшее значение _ij, записывается в свободную клетку, т.е. 17,6. В остальных клетках изменения будут следующие:

₁₃ = 17,6 (-1,36) = -24; ₁₄ = 24; ₃₄ = 17,6 (-1,05) = -18,5; ₃₅ = 17,50,05 = 0,9.

С учетом этих изменений производится новое распределение времени работы печей (табл. 4.5).

В новом плане (табл. 4.5) суммарные издержки производства составят:

F = 5168 + 25130 + 30165 + 17,6 225 + 7,5208 + 4,90 + 20286 + 6336 = 22216 руб.

Таблица 4.5

Система печи и время ее работы (дни)		Сорт хлеба и потребность в нем, т					Потенциал строки
		М1	М2	М3	М4	Ф
		520	520	408	348	4,9
П1	30	12 156 114	14 168 (5)	11 154 135	10 130 (25)	1 0 -30	-30
П2	30	13 156 111	15 165 (30)	12 156 135	11 165 131	1 0 -45	-45
П3	30	15 210 180		15 225 (17,6)	13 208 (7,5)	1 0 (4,9)	0
П4	26	26 286 (20)		24 336 (6)	22 308 328	1 0 -24	-24
Потенциал столбца		12	14	15	16	0

После перераспределения план проверяется на оптимальность, для чего определяются потенциалы строк и столбцов, для свободных клеток рассчитываются суммы потенциалов и сравниваются с величинами элементов клеток. В распределении (см. табл. 4.5) только в одной клетке П₄М₄ сумма потенциалов превышает величину элемента (328 - 308 = 20). Для этой клетки строится цепь и проводится перераспределение.

Полученный новый план является оптимальным и издержки производства в нем составляют F = 22129 руб., что на 631 руб. меньше, чем в исходном (22760 – 22129 = 631).