2. Показатели, характеризующие безотказность объектов и элементов сэс

Наработка на отказ Т - это время, в течение которого изучаемый объект или его элемент будут правильно выполнять все свои функции. Обычно считают, что в момент начала наблюдения за объектом независимая переменная (время) t = 0. Следовательно, отказ произойдет в момент времени Т > 0, причем удовлетворяется двойное неравенство 0<T<. Таким образом, наработка на отказ Т является случайной величиной.

Вероятность безотказной работы Р(t) - это вероятность того, что в пределах заданной продолжительности работы объекта отказ не возникает. При t = 0 вероятность безотказной работы Р(0) = 1, при t =  - Р() = 0.

Вероятность появления отказа Q(t) - это вероятность наступления отказа в течение времени t.

Так как появление и отсутствие отказа являются несовместимыми событиями, то

. (1)

Если в работу включается заведомо исправный объект СЭС, то

P(0) = 1, P(T) = 0, Q(0) = 0, Q(T) = 1.

Таким образом, отказ исключен только при t = 0. При t > 0 отказ может иметь место.

P(t), Q(t)

t

1

P(t) Q(t)

t₁ t₂

0

T

Рис. 1

Пример зависимости безотказной работы и вероятности появления отказа от времени показан на рис.1.

Вероятность того, что отказ произойдет на отрезке времени t = t₂ - t₁ будет равна

. (2)

Статистически вероятность безотказной работы определяется по формуле:

, (3)

где N(t) - число безотказно проработавших элементов до момента времени t;

N(0) - первоначальное число наблюдаемых элементов.

Вероятность отказа статистически определяется из уравнения:

, (4)

где n(t) - число элементов, отказавших к моменту времени t.

При N(0)   статистические параметры P*(t) и Q*(t) стремятся к вероятностям P(t) и Q(t).

Обозначим:

. (5)

Переменная f(t) называется плотностью вероятности отказа.

Очевидно, что

. (6)

Статистически f(t) определяется как отношение числа отказавших элементов n(t, t+t) на интервале t к произведению первоначально наблюдаемого числа элементов N(0) на длительность рассматриваемого интервала времени, т.е.:

. (7)

Из уравнений (1) и (5) следует, что

. (8)

Рис.2

Плотность вероятности отказа имеет размерность год ^-1. Так как Q(t) увеличивается с ростом t, то плотность вероятности отказа всегда положительна.

Рассмотрим случай, когда величина T задана плотностью вероятности отказа f(t_i). Допустим, что все возможные значения наработок на отказ принадлежат отрезку времени 0t. Разобьем данный отрезок на n частичных отрезков длиной t₁, t₂,..., t_i,..., t_n (рис.2) и выберем в каждом из них произвольную точку t_i. Составим сумму

. (9)

Произведение f(t_i)t_i приближенно равно вероятности того, что в течение времени t_i наступит отказ объекта. Переходя к пределу при t_i стремящемся к нулю и n  , получим определенный интеграл:

.

Данный интеграл равен математическому ожиданию наработки на отказ:

. (10)

Проинтегрируем выражение (10) по частям

. (11)

Интенсивность отказов - это взятое для одного и того же момента времени отношение плотности вероятности отказа к вероятности безопасной работы:

. (12)

Возьмем интеграл:

. (13)

Потенциируя (13), получим, что вероятность безотказной работы P(t) равна:

. (14)

Таким образом, вероятность безотказной работы любого объекта в любой момент времени может быть вычислена по формуле (14), если известна зависимость интенсивности отказов от времени.

Статистически величина (t) определится по формуле:

(15)