21)Система «хищник – жертва».

Допущения:

1. Среда однородная.

2. Численность данного вида описывается одной переменной, т.е. мы пренебрегаем возрастными, половыми и генетическими различиями.

3. Пренебрегаем случайными флуктуациями.

4. Взаимодействие мгновенное.

Уравнения системы «хищник-жертва»

(1)

Функция определяется в экспериментальных работах. К настоящему времени установлено, что эти функции принадлежат к одному из следующих трех типов.

1)

Этот тип характерен для беспозвоночных и некоторых видов хищных рыб.

2)

Трофическая функция с резко выраженным порогом насыщения характерна для хищников - фильтраторов (моллюсков).

3)

Такой тип характерен для позвоночных – организмов, способных к обучению.

При малых значениях численности жертвы почти все жертвы становятся добычей хищника, который всегда голоден и насыщения не наступает. Трофическую функцию можно считать линейной:

22)Классическая модель Вольтерра:

(2)

Начальные условия

(3)

23)Процесс выживаемости популяций

Рассмотрим динамику выживания определенного поколения особей какой-либо популяции от рождения до полного исчезновения.

Модели для разного типа популяций дают следующую картину выживаемости популяций

Кривая А представляет собой идеальную кривую выживаемости для популяции, где главным фактором смертности является старение. Такая кривая наиболее характерна для человеческого рода.

Кривая Б – кривая выживаемости популяций с высокой смертностью в ранний период. Самая распространенная модель выживаемости в растительном и животном мире.

Кривая В – описывает процесс выживаемости популяции, когда в основном внешние факторы определяют смертность. Гибель особей начинается задолго до процесса старения.

24)Ориентированные графы

Теория графов интенсивно развивается с 30-х годов ХХ века.

Графическое изображение графа – набор вершин, определенные пары которых соединены линиями со стрелками или без стрелок.

Основой решения многокомпонентных задач являются ориентированные графы(орграфы), в которых связи представлены линиями со стрелками – дугами , где - начальная вершина дуги, а - конечная:

Матрицей смежности вершин орграфа называется квадратная матрица, каждый элемент которой численно равен весу дуги (единице), если есть дуга, идущая от вершины к вершине ж если дуги нет, то элемент равен нулю:

Пример 1.

25)Примеры орграфов.

1. Абстрактный.

2. Граф сети питания системы «хищник-жертва».

Вершины графа – 5 видов, дуги строим от хищника к жертве.

3.С помощью орграфов удается объединить в модели системы различные социальные, экономические и экологические показатели.

Простейшие виды ориентированных графов

Знаковый орграф

Знаковый орграф примера 3 развития города.

1 – состояние окружающей среды;

2 – население;

3 – число предприятий;

4 – число рабочих мест.

В знаковом орграфе взаимодействие вершин отражено только качественно.

Взвешенный орграф

Для количественного описания модели дугам присваиваются весовые коэффициенты, отражающие степень влияния одной вершины на другую. Весовые коэффициенты могут быть определены следующими способами:

• с помощью матрицы ковариаций;

• с помощью экспертных оценок.

Орграф, дугам которого присвоены весовые коэффициенты, называется взвешенным орграфом.

Взвешенный орграф примера 3.

Пример . Взвешенный орграф проблемы удаления отходов из города

P –число жителей в городе; M – улучшение условий жизни в городе; C – миграция в городе; G – количество мусора на единицу площади; D – число заболеваний; S – число очистных сооружений; В – бактериологическая зараженность на единицу площади.

Функциональный орграф

Весовые коэффициенты могут изменяться со временем. Тогда весовые коэффициенты - функции , где - номер временного интервала.

Пример Функциональный орграф проблемы удаления отходов из города, отражающий изменение коэффициентов во времени.

, , , , , , , ,

Вероятностный орграф

Орграф, имеющий случайные возмущения при взаимодействии вершин. Весовые коэффициенты - случайные величины.

Пример

Взвешенный орграф с временной задержкой.

Введем показатели, отражающие задержку реализации изменения одного показателя в ответ на изменение другого.

Способ учесть временные задержки – введение дополнительных промежуточных вершин.

Пример. Рассмотрим орграф с весовым коэффициентом и временной задержкой с временной задержкой в 3 единицы .

Пусть временная задержка равна 3 единицам .

Введем дополнительные вершины: