Вопрос №1 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффицентами

Линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами записывается в виде

где a₁(x) и a₂(x) являются непрерывными функциями на отрезке [a,b].

Линейная независимость функций. Определитель Вронского

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно зависимыми на отрезке [a,b], если существуют постоянныеα₁, α₂, ..., α_n, одновременное не равные нулю, такие, что для всех значений x из этого отрезка справедливо тождество

Если же это тождество выполняется лишь при α₁ = α₁ = ... = α_n = 0, то указанные функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)называются линейно независимыми на отрезке [a,b].  Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функцииy₁(x), y₂(x) будут линейно независимыми на отрезке [a,b], если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной:

В противном случае, при  , эти функции будут линейно зависимыми.  Пусть n функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) имеют производные (n − 1) порядка. Определитель

называется определителем Вронского или вронскианом для указанной системы функций.  Теорема. Если система функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейна зависима на отрезке [a,b], то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.  Отсюда следует, что если определитель отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a,b], то функции y₁(x),y₂(x), ..., y_n(x) будут линейно независимыми. Это свойство определителя Вронского позволяет выяснить, являются ли найденные решения однородного дифференциального уравнения линейно независимыми.

Вопрос №2 Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

где

•  — искомая функция,

•  — её  -тая производная,

•  — фиксированные числа,

•  — заданная функция (когда  , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

• Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

• ,

• приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида  .

Вопрос№3 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (лнду) второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид  , где p иq – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X. Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ. Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения   с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами   и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения  соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения   исходного неоднородного уравнения. То есть,  . Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма  . Нахождение   описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять  . Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей с правой части уравнения

Для любого другого вида функции f(x) общее решение ЛНДУ можно найти методом вариации произвольных постоянных. Вот на методе вариации произвольных постоянных остановимся подробнее. Если нам известны   - n линейно независимых частных решений соответствующего ЛОДУ, то, варьируя произвольные постоянные, общее решение ЛНДУ можно записать как  . Производные функций   находятся из системы уравнений   а сами функции   определяются при последующем интегрировании.

Вопрос №4 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n - 1)} + ... + a₁y' + a₀y = f(x).

Коэффициенты a_n-1, ... , a₁, a₀ — постоянные десйствительные числа, f(x) — непрерывная на [a, b] правая часть.

Общее решение этого уравнения имеет вид y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + ... + C_ny_n(x) + y*(x),

где С₁, С₂, ..., С_n — произвольные постоянные, y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

 

Частное решение y*(x) можно найти методом подбора, если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида

f(x) = exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx)).

Здесь M_m(x) — многочлен степени m, N_n(x) — многочлен степени n, α и β — действительные числа.

Метод подбора вычисления частного решения линейного неоднородного уравнения с квазимногочленом в правой части состоит в том, что частное решение уравнения

отыскивают в виде

y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx))x^r,

где P_k(x) и Q_k(x) — многочлены степени k = max(n, m) с неизвестными коэффициентами,

P_k(x) = p_kx^k + p_k-1x^k-1 + ... + p₁x + p₀, Q_k(x) = q_kx^k + q_k-1x^k-1 + ... + q₁x + q₀.

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов P_k(x) и Q_k(x) , подставляем y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx)) в уравнение и приравниваем в правой и левой части полученного равенства коэффициенты при

exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx),  x²exp(αx)cos(βx), x²exp(αx)sin(βx), ...,   x^kexp(αx)cos(βx), x^kexp(αx)sin(βx).

Полученная таким образом система 2k + 2 уравнений относительно 2k + 2 неизвестных имеет единственное решение.

 

Метод подбора применяется к ограниченному, но достаточно широкому классу правых частей, поскольку квазимногочленами являются функции вида:

M_k(x),  M_k(x)exp(αx),  M_k(x)cos(βx),   M_k(x)sin(βx),  exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx)).

 

Частное решение y*(x) можно найти методом подбора, если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида

f(x) = exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx)).

Здесь M_m(x) — многочлен степени m, N_n(x) — многочлен степени n, α и β — действительные числа.

Метод подбора вычисления частного решения линейного неоднородного уравнения с квазимногочленом в правой части состоит в следующем.

Внимательно смотрим на правую часть уравнения и записываем число α ± βi.

Затем составим характеристическое уравнение однородного уравнения и найдем его корни. Возможны два случая: среди корней характеристического многочлена нет корня, равного числу α ± βi (нерезонансный случай) и среди корней характеристического многочлена есть rкорней, равных числу α ± βi ( резонансный случай).

Рассмотрим нерезонансный случай (среди корней характеристического многочлена нет корня, равного числу α ± βi) . Тогда частное решение уравнения будем искать в виде

y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx)),

где P_k(x) и Q_k(x) — многочлены степени k = max(n,m) с неизвестными коэффициентами,

P_k(x) = p_kx^k + p_k-1x^k-1 + ... + p₁x + p₀, Q_k(x) = q_kx^k + q_k-1x^k-1 + ... + q₁x + q₀.

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов P_k(x) и Q_k(x) , подставим y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx)) в уравнение и приравняем коэффициенты при

exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx),  x²exp(αx)cos(βx), x²exp(αx)sin(βx), ...,   x^kexp(αx)cos(βx), x^kexp(αx)sin(βx).

Доказано, что полученная таким образом система 2k + 2 уравнений относительно 2k + 2 неизвестных имеет единственное решение.

Рассмотрим резонансный случай (среди корней характеристического многочлена есть r корней, равных числу α ± βi) . Тогда частное решение уравнения будем искать в виде

y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx))x^r,

где P_k(x) и Q_k(x) — многочлены степени k = max(n,m) с неизвестными коэффициентами.

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов P_k(x) и Q_k(x) , подставляем y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx))x^r в уравнение и приравниваем коэффициенты при

exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx),  x²exp(αx)cos(βx), x²exp(αx)sin(βx), ...,   x^kexp(αx)cos(βx), x^kexp(αx)sin(βx).

 

Вопрос №5 Основные типы уравнений математической физики Математическая физика — теория математических моделей физических явлений. Она относится к математическим наукам; критерий истины в ней — математическое доказательство. Однако, в отличие от чисто математических наук, в математической физике исследуются физические задачи на математическом уровне, а результаты представляются в виде теорем, графиков, таблиц и т. д. и получают физическую интерпретацию.  К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.  1. Волновое уравнение: .  Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.  2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье: .  Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.  3. Уравнение Лапласа: .  Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д.  В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных.