- •III. Криволинейные интегралы
- •§1. Криволинейные интегралы I типа
- •2. Задача о площади цилиндрической поверхности
- •3. Задача о массе кривой
- •4. Вычисление криволинейного интеграла I типа
- •§2. Криволинейные интегралы II типа
- •1. Задача о работе плоского силового поля
- •2. Определение криволинейного интеграла II типа
- •3. Основные свойства криволинейного интеграла II типа
- •4.Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа
- •5. Формула Грина-Остроградского
- •6. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла
- •7. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
- •8. Нахождение функции по её полному дифференциалу
2. Определение криволинейного интеграла II типа
Пусть в плоскости задана спрямляемая кривая и вдоль нее определена функция f(x;y). Кривую разобьем произвольно на частей точками , . На каждой частичной дуге выберем произвольную точку . Обозначим через xk и уk проекции дуги на оси координат, xk=xk -xk-1, yk=yk-yk-1. Разбиение обозначим через . Составим сумму
. (4)
(4) – интегральная сумма для функции f(x;y) на кривой AB по координате x. Пусть , - длина частичной дуги .
Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы при , если выполнено . Обозначается: .
Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом по координате х от функции f(x;y), взятым по кривой AB. Функция называется интегрируемой вдоль кривой AB по координате х, если для нее вдоль этой кривой существует криволинейный интеграл по x.
Обозначается: .
Таким образом, .
Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции f(x;y) по координате y, взятый по кривой AB:
.
Криволинейные интегралы по координатам x и y называются криволинейными интегралами II типа.
Если вдоль кривой AB две функции P(x;y) и Q(x;y), и существуют , , то сумма этих интегралов также называется криволинейным интегралом II типа (общего вида) и обозначается:
.
Физический смысл криволинейного интеграла II типа
Из задачи о работе плоского силового поля и определения криволинейного интеграла II типа следует, что криволинейный интеграл II типа общего вида
,
то есть выражает работу силы по перемещению материальной точки по кривой из точки А в точку В.
Замечание 1. Определенный интеграл является частным случаем криволинейного интеграла II типа. Пусть кривая АВ - это отрезок AB=[a;b] оси Ox. Тогда f(x;y)=f(x;0)=F(x). Поэтому на [a;b]
.
В правой части – обыкновенная интегральная сумма для функции F(x) на [a;b]. Переходя к , получим
.
Аналогично, если кривая AB является некоторым отрезком [c;d] оси Oy, то , где (y)=f(0;y), y[c;d].
Замечание 2. Если на кривой AB поменять направление интегрирования на противоположное, то и знак криволинейного интеграла II типа изменится на противоположный. Это происходит потому, что в интегральных суммах изменяется знак . Таким образом, криволинейные интегралы II типа от одной и той же функции f(x;y), взятые по одной и той же кривой АВ, но в противоположных направлениях, равны по модулю, но противоположны по знаку:
,
.
Следовательно, при вычислении криволинейных интегралов II типа необходимо учитывать направление интегрирования. Из двух направлений на кривой одно считают положительным, а другое – отрицательным.
Если кривая замкнута и представляет собой контур, ограничивающий некоторую область на плоскости (это будет в случае, если замкнутая кривая не имеет кратных точек), то за положительное направление принимают обычно направление против хода часовой стрелки, а за отрицательное – по ходу часовой стрелки. Но для некоторых областей такой способ задания направления непригоден. В этом случае положительным направлением считают такое направление обхода контура, когда ограниченная им область (Р) остается все время слева. Интеграл по замкнутому контуру L обозначается: . Иногда с помощью стрелки указывают направление обхода:
или .