29. Геометрическая интерпретация решения задачи (неоклассического потребления).

Допустимое множество набора благ для потребностей представляет собой Δ ограниченное осями координат и бюджетной прямой. Для решения задачи на этом множестве необходимо найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уравнением полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии более высокого уровня полезности (вправо и вверх) до тех пор, пока эти линии будут иметь общие точки с дополнительным множеством.

Таким образом, графическая интерпретация означает, что решение задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой, которую удобнее всего провести через точку пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукт .

Необходимо так же помнить, что в оптимальной точке условия x₁≥0, x₂≥0 выполняются автоматически, что вытекает из свойств функции полезности . В то же время, если условия не отрицательности переменных не включены в явном виде в условия задачи, то сама задача является существенно проще и может быть приведена к решению как задача оптимизации без ограничений.

Формально выражение такой задачи имеет вид:

Для приведения задачи на условный максимум применяем функцию Лагранжа:

Находим ее первые частные производные:

Исключим из полученной системы трех уравнений неизвестную λ. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Эта система имеет вид:

Решение этой системы является укороченной критической точкой функции Лагранжа, и она является решением задачи потребительского выбора (в данном случае не рассматриваются так называемые точки и решения для них).

Подставим решение в равенство . Получим, что в точке локального рыночного равновесия отношения предельных полезностей и равно отношению рыночных цен на эти продукты.

В связи с тем, что отношение А равно предельной норме замены в точке локального рыночного равновесия.

Из чего следует, что предельная норма равно отношению рыночных цен на продукты.

30. Пример задачи потребительского выбора.

Рассмотрим задачу потребительского выбора с 2мя благами. Пусть неизвестные количества этих благ равны х₁ и х₂, а их рыночные цены р₁ и р₂, тогда задача потребительского выбора будет формализована в виде:

Учитывая изложенное выше бюджетное ограничение в оптимальной точке должно выполняться как равенство, поскольку оба блага жизненно необходимы (полезность равна 0, если одно отсутствует). Будем считать, что потребность в не отрицательности переменных будут выполняться автоматически. Исходя из этого, решаемая задача классического программирования превращается в задачу на условный экстремум.

Записав необходимое условие экстремума (согласно которому отношения предельной полезности благ должны быть равны отношению рыночных цен, а бюджетное ограничение должно выполняться как равенство) получим систему уравнений, которая имеет вид:

Первое условие означает, что в рассматриваемой задаче количество денег затраченных на оба блага должны быть одинаковыми.

Это вытекает из равенства весов или степени переменных х₁ и х₂ функции полезности. Тогда

В данном случае функция спроса каждого потребительского выбора приобретает следующий вид:

Из этого следует, что расход на каждое благо составляет половину общего дохода и чтобы найти количество общего блага следует разделить расходуемую сумму на его цену.

Для решения этой задачи мы не используем метод Лагранжа выражая х₁ и х₂ из бюджетных ограничений. Для более сложных случаев необходимо использовать методы дифференциального исчисления или метод мат программирования.