-
Линейная модель многоотраслевой экономики
Леонтьев обнаружил важнейшее условие, которое можно сформулировать след. образом:
-
на протяжении длительного периода времени величина
изменяется очень медленно и ее можно
рассматривать как постоянное число.
С точки зрения экономического смысла это можно трактовать след. образом:
-
технология производства остается на одном уровне довольно долгие промежутки времени, а поэтому объем потребления j-й продукции i-й отрасли при производстве своей продукции в объеме
- это технологическая константа.
С
таким допущением технология производства
принимается линейной,
а само допущение называется гипотезой
линейности.
При этом числа
называются коэффициентами
прямых затрат.
В соответствии с гипотезой линейности:
(2)
Тогда уравнение (1) перепишем в виде системы уравнений:
(3)
Или в матричной форме:
(4)
где
- вектор валового выпуска;
- вектор конечного потребления;
А - матрица коэффициентов прямых затрат.
;
;
(5)
Соотношение (4)-(5) называют уравнениями линейного межотраслевого баланса (модель Леонтьева).
Уравнения (4) можно использовать в двух случаях:
1) они дают возможность по
данным вектора валового выпуска
получить вектор конечного потребления
.
2) они применяются в целях планирования. В этом случае задача формулируется след. образом:
-
для фиксированного времени (например, года) по данному вектору конечного потребления Y определить вектор валового выпуска.
Особенности системы (4)
Учитывая прикладной характер
моделей, элементы матрицы А и векторов
и
должны быть неотрицательными.
Продуктивность модели Леонтьева
Матрица А, все элементы которой
неотрицательны, называется продуктивной,
если для любого вектора
с неотрицательными компонентами
существует решение системы (4) (вектор
),
все элементы которого неотрицательны.
Для уравнения типа (4) существует
математическая теория исследования
решений и их особенностей. Достаточно
установить существование положительного
решения системы (4) хотя бы для одного
неложного вектора
,
чтобы матрица А была продуктивной.
Запишем систему (4) с использованием единичной матрицы Е:
(6)
Тогда если существует обратная матрица, то и существует единственное решение:
(7)
где
называется матрицей
полных затрат.
На практике существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Приведем наиболее употребляемые из них:
Ι критерий продуктивности:
матрица А продуктивна тогда, когда
существует матрица
и все ее элементы неотрицательны.
ΙΙ критерий продуктивности: матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов любого ее столбца не превышает 1, при этом хотя бы для одного столбца эта сумма строго меньше единицы:
(8)
-
Линейная модель торговли
Процесс взаимообмена товаров анализируется с помощью математического аппарата собственных чисел и собственных матриц.
Допустим, что бюджет n стран,
которые обозначим
,
используется на закупку товаров.
Рассмотрим линейную модель обмена или
модель международной торговли.
Пусть
- это доля бюджета
,
который j-я страна использует на покупку
товаров i-й страны. Введем в рассмотрение
матрицу коэффициентов:
(1)
Если весь бюджет используется только на приобретения на внутреннем рынке страны и за ее пределами (это можно трактовать как бюджет торговли), тогда целесообразно равенство:
,
(2)
Матрица (1), которая удовлетворяет условию (2) называется структурной матрицей торговли для i-й страны. Общий выторг ля внешней и внутренней торговли может быть представлен формулой:
(3)
Условия бездефицитной торговли формулируются так:
-
для каждой страны бюджет должен быть не больше выторга:
,
(4)
Допустим, что одно из неравенств (4) преобразуется в строгое, тогда суммируя в соответствии с (2), получим:
Полученная противоположность, что в условии (2) могут быть только равенства. Таким образом условие (4) можно записать в след. виде:
(5)
Введение
вектора бюджетов
,
каждая компонента которого характеризует
бюджет соответствующей страны, дает
возможность записать систему уравнений
(5) в матричной форме:
(6)
Для определения значения
перепишем последнее уравнение в виде:
(7)