Методика кореляційно-регресійного аналізу

Кореляційно-регресійний аналіз дозволяє визначити тісноту зв'язку між досліджуваними показниками і пропорційність зміни результативного показника при зміні одного чи декількох факторів. Залежно від кількості досліджуваних ознак розрізняють парну (просту) кореляцію, коли аналізують зв’язок між однією факторною і результативною ознаками і множинну, коли вивчають залежність результативної ознаки від двох і більше факторних ознак.

Головною характеристикою кореляційного зв’язку є лінія регресії. Рівняння лінійної регресії має вигляд:

.

Параметри ізнаходять, розв’язуючи систему нормальних рівнянь:

де п – кількість одиниць сукупності (тобто заданих пар значень х і у).

Розв'язавши цю систему, дістанемо:

Для прикладу розрахуємо параметри рівняння лінійної регресії, що характеризує залежність урожайності від якості ґрунту на 10-ти земельних ділянках (табл. 4).

Підставивши відповідні значення в систему рівнянь, отримаємо:

10+18,3=341,2;

18,3+35,77=641,17.

Використовуючи вище наведені формули, знайдемо значення параметрів:

Таблиця 4

Дані до регресійного аналізу залежності урожайності зернових у (ц/га) від якості ґрунту х (в балах)

№ ділянки	х	у
1	1,3	26,7	1,69	712,89	34,71	30,32	919,3024
2	2,1	32,5	4,41	1056,25	68,25	36,24	1313,3376
3	1,5	27,9	2,25	778,41	41,85	31,8	1011,24
4	2,4	35,0	5,76	1225,00	84	38,46	1479,1716
5	2,2	32,4	4,84	1049,76	71,28	36,98	1367,5204
6	1,9	33,1	3,61	1095,61	62,89	34,76	1208,2576
7	1,0	30,9	1,00	954,81	30,9	28,1	789,61
8	2,5	50,1	6,25	2510,01	125,25	39,2	1536,64
9	1,4	38,6	1,96	1489,96	54,04	31,06	964,7236
10	2,0	34,0	4,00	1156,00	68	35,5	1260,25
Всього	18,3	341,2	35,77	12028,7	641,17	342,42	11850,052
В середньому	1,83	34,12	3,577	1202,87	64,117	34,242	1185,0052

Отже, теоретична залежність рівня урожайності зернових культур від якості ґрунту має такий вигляд:

Це означає, що при збільшенні якості ґрунту на один бал рівень урожайності зростає на 7,4 ц/га.

Для оцінки щільності прямолінійного зв’язку результативної і факторної ознак використовують коефіцієнт парної кореляції, який обчислюють за формулою:

r ₌ ,

де – середнє квадратичне відхилення факторної ознаки; – середнє квадратичне відхилення результативної ознаки.

Так як , а , то формула лінійного коефіцієнта кореляції буде такою:

r ₌

Розраховане значення коефіцієнта кореляції (r = 0,564) свідчить, що між ознаками іс­нує середня щільність зв'язку.

Тіснота зв'язку в кореляційно-регресійному аналізі вимірюється коефіцієнтом детермінації R². Він дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції:

R² = ,

де – дисперсія результативного показника, обчислена за рівнянням регресії; – загальна дисперсія результативного показника.

Цей показник пояснює, яка частка варіації досліджуваного показника обумовлюється впливом фактору, включеного до рівняння регресії. Він може мати значення від 0 до 1. Чим ближче коефіцієнт детермінації до одиниці, тим більше варіація результативного показника характеризується впливом досліджуваного фактора.

Так як =, а , то в нашому прикладі = 1185,0052-34,12=20,8308,

=1202,87-34,12=38,6956.

Отже, R²=.

В даному випадку коефіцієнт детермінації показує, що урожайність залежить на 53,8% від якості ґрунту і на 46,2% – від інших факторів.

Якщо кількісні показники кореляційного аналізу обчислені за вибірковими даними, то потрібно визначити їх відповідність показникам зв’язку у генеральній сукупності. Середню помилку вибіркового коефіцієнта парної кореляції визначають за такою формулою:

де r – коефіцієнт кореляції, n – вибіркова сукупність.

Вірогідність коефіцієнта кореляції визначають за t-критерієм, який обчислюють як відношення коефіцієнта кореляції до його середньої помилки:

.

Якщо > при встановленому рівні імовірності, то можна зробити висновок, що в генеральній сукупності існує вірогідний зв'язок між досліджуваними ознаками.

У нашому прикладі середня помилка вибіркового коефіцієнта дорівнює .

Фактичне значення t-критерію буде таким:

.

Табличне значення t-критерію при рівні ймовірності 0,95 і 8 ступенях свободи дорівнює 2,3060 (див. додаток Д). Оскільки обчислена величина t більше табличної, то можна зробити висновок про вірогідність коефіцієнта кореляції, тобто в даному випадку зв’язок між досліджуваними явищами в генеральній сукупності доведений.

Додаток А

Міністерство аграрної політики та продовольства України

Дніпропетровський державний аграрний університет

Навчально-науковий інститут економіки

Кафедра маркетингу

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА З СТАТИСТИКИ

Виконав: студент групи

Ф-1-08 Петренко В.О.

Перевірив: ст. викладач Никитюк О.В.

Дніпропетровськ – 2011

Додаток Б

№ варіанту	Культури	2004	2005	2006	2007	2008
1	зернові культури - всього	29,0	28,5	24,8	16,3	34,0
2	озимі зернові	35,4	34,8	28,9	19,3	37,6
3	пшениця	36,3	35,4	29,1	19,7	38,2
4	жито	24,1	23,7	24,0	13,4	29,2
5	ячмінь	30,3	26,4	27,0	13,8	32,8
6	ярі зернові	25,9	24,2	22,5	13,4	30,0
7	пшениця	23,5	18,8	21,6	10,6	22,4
8	ячмінь	23,0	20,2	21,3	9,2	28,0
9	овес	23,4	18,2	19,2	11,8	24,3
10	кукурудза на зерно	34,2	34,6	26,4	22,0	34,9
11	просо	13,1	12,1	10,1	8,9	18,4
12	гречка	6,9	6,4	6,2	4,5	7,3
13	зернобобові	27,0	17,2	23,3	9,9	22,2
14	цукрові буряки	217,3	206,6	246,0	172,0	247,6
15	соняшник	7,8	12,9	15,1	12,9	15,7
16	соя	13,6	11,5	9,2	7,0	10,4
17	рiпaк	12,1	17,7	16,8	13,8	20,5
18	картопля	139,9	123,8	120,5	76,2	119,6
19	овочі	168,7	170,0	177,2	158,4	174,8
20	кормові коренеплоди	220,6	255,7	260,8	249,9	248,0
21	кукурудза на з/к	250,1	237,8	243,5	229,4	248,2
22	кукурудза на силос	157,0	154,5	147,6	105,7	158,5
23	однорічні трави на сіно	33,1	38,4	35,7	32,2	40,8
24	багаторічні трави на сіно	31,6	31,2	31,2	26,2	33,7
25	плоди та ягоди	101,5	109,6	52,5	103,6	108,2

Динаміка урожайності основних культур в Дніпропетровській області

Додаток В

Вихідні дані для проведення статистичного аналізу*

№ варіан- та	Ознаки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	х	47	16	29	33	52	36	26	51	36	54
	у	34,0	34,6	26,1	36,9	33,9	35,6	30,5	42,4	31,0	40,4
2	х	20	39	13	18	23	43	40	31	36	34
	у	11,9	19,9	14,4	18,2	13,7	16,1	15,2	12,7	16,1	16,4
3	х	54	53	46	40	41	37	43	34	38	39
	у	37,2	31,1	31,6	26,7	32,5	35,0	53,1	33,9	34,2	35,2
4	х	24	29	34	25	23	22	40	37	33	41
	у	15,9	16,8	12,5	11,5	12,0	12,8	18,0	11,8	19,7	17,1
5	х	28	39	37	24	29	42	43	40	34	25
	у	29,6	33,0	32,8	25,5	30,5	37,7	37,0	35,9	24,8	24,5
6	х	21	40	40	31	36	34	29	16	47	24
	у	17,0	18,2	15,2	12,7	16,1	16,4	14,0	12,7	15,7	16,8
7	х	39	13	18	23	43	40	31	36	34	24
	у	31,0	17,9	24,2	21,5	24,8	25,8	23,2	28,4	26,6	26,9
8	х	21	31	20	19	22	20	15	18	19	25
	у	17,4	15,2	13,7	22,5	14,5	25,0	12,2	15,0	20,3	14,8
9	х	16	18	21	16	24	16	21	32	49	21
	у	12,8	22,9	15,9	17,9	12,5	15,4	15,5	19,6	17,7	13,9
10	х	49	35	34	44	31	45	35	25	49	45
	у	48,1	35,5	31,0	35,8	27,6	36,0	30,0	26,4	36,5	34,5
11	х	18	19	16	20	39	13	18	23	43	40
	у	17,1	18,4	15,2	11,9	19,9	14,4	18,2	13,7	16,1	15,2
12	х	46	53	54	55	21	39	54	27	36	66
	у	15,1	16,9	18,9	15,5	12,9	14,0	15,8	14,0	21,0	15,5
13	х	36	26	71	36	54	54	53	46	40	41
	у	35,6	30,5	42,4	31,0	40,4	37,2	31,1	31,6	26,7	32,5
14	х	36	71	26	36	52	33	21	31	20	19
	у	20,9	18,9	12,7	17,7	14,9	16,2	17,4	15,2	13,7	22,5
15	х	55	44	70	66	36	27	54	39	21	55
	у	41,3	29,2	36,1	27,4	32,4	31,7	32,3	32,4	30,8	35,8
16	х	20	15	18	19	25	16	18	21	16	24
	у	17,4	15,2	13,7	22,5	14,5	12,8	22,9	15,9	17,9	12,5
17	х	19	22	20	15	18	23	22	40	37	33
	у	25,0	15,0	20,3	14,8	12,8	19,5	23,1	25,8	29,6	21,2
18	х	20	15	18	19	25	21	23	22	40	37
	у	25,0	12,2	15,0	20,3	14,8	11,5	12,0	12,8	18,0	11,8
19	х	70	44	86	54	36	71	26	36	52	33
	у	18,8	12,6	18,0	16,1	20,9	18,9	12,7	17,7	14,9	16,2
20	х	29	16	47	29	18	19	16	20	39	18
	у	14,0	12,7	15,7	23,0	17,1	18,4	15,2	11,9	19,9	15,0
21	х	25,5	30,5	37,7	37,0	35,9	33	52	36	26	51
	у	31	36	34	29	16	36,9	33,9	35,6	30,5	42,4
22	х	33	21	31	20	19	19	22	20	15	18
	у	16,2	17,4	15,2	13,7	22,5	25,0	15,0	20,3	14,8	12,8
23	х	23	22	40	37	33	41	2	40	49	20
	у	19,5	23,1	25,8	29,6	21,2	26,7	19,2	31,3	30,9	19,3
24	х	16	21	32	49	21	16	18	21	16	24
	у	15,4	15,5	19,6	17,7	13,9	12,8	22,9	15,9	17,9	12,5
25	х	34	25	23	22	40	20	39	13	18	23
	у	12,5	11,5	12,0	12,8	18,0	11,9	19,9	14,4	18,2	13,7

* х – кількість внесених мінеральних добрив на 1 га посівної площі у перерахунку на 100% поживних речовин; кг;

у – урожайність культури.

Додаток Д

Значення t-критерію при рівнях ймовірності 0,95 і 0,99

Ступені вільності варіації	Рівень ймовірності		Ступені вільності варіації	Рівень ймовірності
	0,95	0,99		0,95	0,99
1	12,706	63,657	15	2,1315	2,9467
2	4,3027	9,9248	16	2,1199	2,9208
3	3,1825	5,8409	17	2,1098	2,8982
4	2,7764	4,6041	18	2,1009	2,8784
5	2,5706	4,0321	19	2,0930	2,8609
6	2,4469	3,7074	20	2,0860	2,8453
7	2,3646	3,4995	21	2,0796	2,8314
8	2,3060	3,3554	22	2,0739	2,8188
9	2,2622	3,2498	23	2,0687	2,8073
10	2,2281	3,1693	24	2,0639	2,7969
11	2,2010	3,1058	25	2,0595	2,7874
12	2,1788	3,0545	26	2,0555	2,77787
13	2,1604	3,0123	27	2,0518	2,7707
14	2,1448	2,9768	28	2,0484	2,7633

22