- •Содержание
- •Глава I. Функция и ее предел
- •§ 1. Множества
- •§ 2. Понятие функции
- •§ 3. Основные характеристики функции
- •§ 4. Классификация функций
- •4.1. Обратная функция
- •4.2. Сложная функция
- •4.3. Основные элементарные функции и их графики
- •§ 5. Числовые последовательности
- •§ 6. Предел функции
- •6.1. Предел функции в точке
- •6.2. Предел функции при
- •6.3. Теоремы о пределах функций
- •6.4. Два замечательных предела
- •§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •7.1. Бесконечно большие функции и их свойства
- •7.2. Бесконечно малые функции и их свойства
- •7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. М. Ф.
- •7.4. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 8. Вычисление пределов функции
- •§ 9. Непрерывность функции
- •9.1. Односторонние пределы
- •Понятие непрерывности функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Глава II. Дифференциальное исчисление
- •§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
- •10.1. Определение производной
- •10.2. Геометрический смысл производной
- •10.3. Физический смысл производной
- •§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •11.2. Производные элементарных функций
- •11.3. Логарифмическое дифференцирование
- •11.4. Производные высших порядков
- •Производная неявной функции
- •11.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •§ 14. Правило Лопиталя
- •14.1. Теорема Лопиталя
- •14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие
- •§ 15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции
- •15.2. Достаточные условия экстремума
- •15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •15.4. Асимптоты графика функций
- •15.5. Общая схема исследования функции
- •15.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •Литература
Геометрический смысл теоремы Ролля.
касательная параллельна оси .
3. Теорема Лагранжа. (Лагранж Жозеф-Луи (1736–1813гг.) – французский математик).
Пусть функция определена на ,
причем: 1) непрерывна на ;
2) дифференцируема на ;
Тогда существует такая точка , что справедлива формула
.
Доказательство. Введем вспомогательную функцию
.
Тогда: 1) непрерывна на , так как является разностью непрерывной функции и линейной ;
2) дифференцируема на , т.е. внутри имеет производную ;
3) ;
Следовательно, по теореме Ролля существует точка , в которой , т.е. .
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
– это угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и кривой ;
– это угловой коэффициент касательной к кривой в точке с координатами .
Таким образом, существует такая точка, в которой касательная параллельна секущей. Таких точек может быть и несколько, но
обязательно одна существует.
Замечание. Равенство , где называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.
4. Теорема Коши. (Коши Огюстен Луи (1789–1853гг.) – французский математик).
Пусть функции и непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть .
Тогда существует такая точка , что справедлива формула
.
Эта формула называется формулой Коши, или обобщенной формулой конечных приращений.
Замечание. Для всех четырех теорем указанные в формулировке условия существенны. Если хотя бы одно из них не выполняется, то теоремы не справедливы.
Например, на непрерывна, дифференцируема, но так как и , то теорема Ролля не выполняется, т.е. нет такой точки , где .
Пример. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на и найти .
,
, , .
§ 14. Правило Лопиталя
14.1. Теорема Лопиталя
(Лопиталь Гильон Франсуа (1661–1704) – французский математик).
Теорема. Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , но в самой точке могут быть и не определены. Пусть и в указанной окрестности точки .
Тогда, если существует предел
(конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула .
Эту теорему называют правилом Лопиталя.
Правило Лопиталя раскрывает неопределенность .
Замечания.
-
Правило Лопиталя имеет место и в случаях, когда и .
-
Правило Лопиталя можно применять и при раскрытии неопределенностей .
-
Если отношение производных приводит к неопределенностям и , то правило Лопиталя можно применять повторно.
Пример 1.
.
Пример 2. .
14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие
1. Неопределенности вида и можно свести к неопределенностям и , а затем применить правило Лопиталя.
Пример 1.
Пример 2.
2. , , эти неопределенности с помощью тождества
преобразуются к неопределенностям .
Пример 3. .
Пример 4.
( применили первый замечательный предел)