- •Содержание
- •Глава I. Функция и ее предел
- •§ 1. Множества
- •§ 2. Понятие функции
- •§ 3. Основные характеристики функции
- •§ 4. Классификация функций
- •4.1. Обратная функция
- •4.2. Сложная функция
- •4.3. Основные элементарные функции и их графики
- •§ 5. Числовые последовательности
- •§ 6. Предел функции
- •6.1. Предел функции в точке
- •6.2. Предел функции при
- •6.3. Теоремы о пределах функций
- •6.4. Два замечательных предела
- •§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •7.1. Бесконечно большие функции и их свойства
- •7.2. Бесконечно малые функции и их свойства
- •7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. М. Ф.
- •7.4. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 8. Вычисление пределов функции
- •§ 9. Непрерывность функции
- •9.1. Односторонние пределы
- •Понятие непрерывности функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Глава II. Дифференциальное исчисление
- •§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
- •10.1. Определение производной
- •10.2. Геометрический смысл производной
- •10.3. Физический смысл производной
- •§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •11.2. Производные элементарных функций
- •11.3. Логарифмическое дифференцирование
- •11.4. Производные высших порядков
- •Производная неявной функции
- •11.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •§ 14. Правило Лопиталя
- •14.1. Теорема Лопиталя
- •14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие
- •§ 15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции
- •15.2. Достаточные условия экстремума
- •15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •15.4. Асимптоты графика функций
- •15.5. Общая схема исследования функции
- •15.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •Литература
-
Производная неявной функции
Пусть функция задана неявно, т.е уравнением , неразрешенным относительно . Чтобы найти производную от по , нужно продифференцировать это уравнение, учитывая, что является функцией от . Затем из полученного выражения выразить .
Пример 1. Найти производную функции .
Найдем производные по от каждой части уравнения.
.
Пример 2. Найти производную второго порядка от функции, заданной неявно:
1) Найдем : , .
2) Найдем : , заменим
.
11.6. Производная функции, заданной параметрически
Будем говорить, что переменная как функция аргумента задана параметрически, если обе переменные и заданы как функции некоторой третьей переменной :
, где – параметр (дополнительная переменная).
Предположим, что существуют и , а функция имеет обратную функцию . Тогда .
В этом случае, параметрически заданную функцию можно рассматривать как сложную функцию .
Тогда .
Производная второго порядка находится по формуле :
или .
Пример 1. Функция задана параметрически:.
Найти производную второго порядка по .
.
Пример 2. Функция задана параметрически: .
Найти производную второго порядка по .
.
§ 12. Дифференциал функции
Пусть функция имеет отличную от нуля производную
.
Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать , где при .
– это сумма двух б.м.ф. при . При этом первое слагаемое б.м.ф одного порядка с , а второе слагаемое б.м.ф более высокого порядка, чем .
Поэтому первое слагаемое является главной частью приращения функции и называется дифференциалом первого порядка функции в точке .
Обозначают дифференциал так: или .
Дифференциал равен произведению производной функции и приращения аргумента . Найдем дифференциал аргумента .
Следовательно, .
Геометрический смысл дифференциала первого порядка.
Следовательно, дифференциал первого порядка функции в точке – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке .
Если , то . Последнее равенство можно использовать для приближенного вычисления значения .
Пример 1. Вычислить .
Пусть .
Тогда
§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
1. Теорема Ферма. (Ферма Пьер (1601–1665гг.) – французский математик).
Пусть функция определена на интервале ; в некоторой точке этого интервала она принимает наибольшее или наименьшее значение.
Тогда, если в точке существует конечная производная, то она равна нулю, т.е. .
Геометрический смысл теоремы Ферма.
касательная параллельна оси .
2. Теорема Ролля. (Ролль Мишель (1652–1719гг.) – французский математик)
Пусть функция определена на ,
причем: 1) непрерывна на ;
2) дифференцируема на ;
3) .
Тогда существует точка , в которой .