- •Содержание
- •Глава I. Функция и ее предел
- •§ 1. Множества
- •§ 2. Понятие функции
- •§ 3. Основные характеристики функции
- •§ 4. Классификация функций
- •4.1. Обратная функция
- •4.2. Сложная функция
- •4.3. Основные элементарные функции и их графики
- •§ 5. Числовые последовательности
- •§ 6. Предел функции
- •6.1. Предел функции в точке
- •6.2. Предел функции при
- •6.3. Теоремы о пределах функций
- •6.4. Два замечательных предела
- •§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •7.1. Бесконечно большие функции и их свойства
- •7.2. Бесконечно малые функции и их свойства
- •7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. М. Ф.
- •7.4. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 8. Вычисление пределов функции
- •§ 9. Непрерывность функции
- •9.1. Односторонние пределы
- •Понятие непрерывности функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Глава II. Дифференциальное исчисление
- •§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
- •10.1. Определение производной
- •10.2. Геометрический смысл производной
- •10.3. Физический смысл производной
- •§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •11.2. Производные элементарных функций
- •11.3. Логарифмическое дифференцирование
- •11.4. Производные высших порядков
- •Производная неявной функции
- •11.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •§ 14. Правило Лопиталя
- •14.1. Теорема Лопиталя
- •14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие
- •§ 15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции
- •15.2. Достаточные условия экстремума
- •15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •15.4. Асимптоты графика функций
- •15.5. Общая схема исследования функции
- •15.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •Литература
§ 6. Предел функции
6.1. Предел функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , причем в самой точке функция может быть и не определена.
Определение. Число называется пределом функции в точке ( или при ), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают .
Коротко можно записать так:
Геометрический смысл:
, если для любой – окрестности точки найдется такая – окрестность точки , что для всех из этой –окрестности соответствующие значения функции лежат в – окрестности точки . Т.е. точки графика лежат внутри полосы шириной , ограниченной линиями и . Очевидно, что величина зависит от . Поэтому пишут .
Пример 1. Доказать, что .
¦ Возьмем произвольное число . Найдем по этому такое значение , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуя последнее неравенство, получаем или . Отсюда видно, что если взять , то для всех , удовлетворяющих , выполняется неравенство . Это и означает, что . ¢
Пример 2. Доказать, что .
¦ Для любого можно взять любое . Тогда при , имеем . ¢
6.2. Предел функции при
Пусть функция определена на .
Определение. Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко можно записать так:
Геометрический смысл этого определения таков: , что при или при соответствующие значения функции попадают в – окрестность точки , т.е. точки графика лежат в полосе шириной , ограниченной прямыми и .
Сформулируем теперь понятие предела функции при .
Определение. Число называется пределом функции при (соответственно при ), если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству (соответственно ), выполняется неравенство .
Если , то пишут .
Если , то пишут .
6.3. Теоремы о пределах функций
При вычислении пределов необходимо знать следующие теоремы.
Формулировки теорем аналогичны для случаев, когда и . Будем считать, что пределы и существуют.
-
Функция может иметь только один предел.
-
.
-
.
-
. (выполняется для любого числа слагаемых)
-
.
-
, если .
-
предел степени равен степени предела.
В частности,
-
Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство .
-
Теорема о пределе промежуточной функции.
Пусть функции , , определены в некоторой окрестности точки , причем в самой точке функции могут быть и не определены.
Если и ,то .
Примем эти теоремы без доказательства.
Примеры вычисления пределов с помощью перечисленных теорем.
1. . |
2. .
|
|
|
3. . |
4. . |