- •Содержание
- •Глава I. Функция и ее предел
- •§ 1. Множества
- •§ 2. Понятие функции
- •§ 3. Основные характеристики функции
- •§ 4. Классификация функций
- •4.1. Обратная функция
- •4.2. Сложная функция
- •4.3. Основные элементарные функции и их графики
- •§ 5. Числовые последовательности
- •§ 6. Предел функции
- •6.1. Предел функции в точке
- •6.2. Предел функции при
- •6.3. Теоремы о пределах функций
- •6.4. Два замечательных предела
- •§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •7.1. Бесконечно большие функции и их свойства
- •7.2. Бесконечно малые функции и их свойства
- •7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. М. Ф.
- •7.4. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 8. Вычисление пределов функции
- •§ 9. Непрерывность функции
- •9.1. Односторонние пределы
- •Понятие непрерывности функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Глава II. Дифференциальное исчисление
- •§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
- •10.1. Определение производной
- •10.2. Геометрический смысл производной
- •10.3. Физический смысл производной
- •§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •11.2. Производные элементарных функций
- •11.3. Логарифмическое дифференцирование
- •11.4. Производные высших порядков
- •Производная неявной функции
- •11.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •§ 14. Правило Лопиталя
- •14.1. Теорема Лопиталя
- •14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие
- •§ 15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции
- •15.2. Достаточные условия экстремума
- •15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •15.4. Асимптоты графика функций
- •15.5. Общая схема исследования функции
- •15.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •Литература
10.3. Физический смысл производной
Пусть функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, в том смысле, что значение - это путь, пройденный точкой за время . Тогда – это мгновенная скорость точки в момент времени .
§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций
-
Правила дифференцирования
Пусть функции и дифференцируемы.
Тогда:
;
;
;
Производную сложной функции находим по формуле:
.
11.2. Производные элементарных функций
Используя определение производной, можно показать, что – производная постоянной функции;
– производная степенной функции.
Выведем производные остальных элементарных функций.
Производные тригонометрических функций.
1.
( применили первый замечательный предел)
т.е. .
2.
( применили первый замечательный предел)
т.е .
3.
т.е. .
4.
т.е. .
Производная логарифмической функции.
(умножили и разделили на ) (применили второй замечательный предел )
т.е. .
Частный случай: .
Производная обратной функции. Производная показательной функции.
1. Теорема. Если в точке имеет , то обратная ей функция также в точке имеет , причем
.
2. Показательная функция , обратная ей функция .
,
т.е. .
Частный случай: .
Производные обратных тригонометрических функций.
1. Пусть функция , где ,
тогда – обратная ей функция,
.
Знак « + » перед корнем, так как функция неотрицательна на отрезке .
Следовательно, .
Аналогично получаем: .
2. Пусть функция , где ,
тогда - обратная ей функция,
.
Следовательно, .
Аналогично получаем: .
11.3. Логарифмическое дифференцирование
В некоторых случаях для нахождения производной сначала можно функцию прологарифмировать, а затем от полученного выражения вычислить производную.
Такая операция называется логарифмическим дифференцированием.
Существуют функции, производные от которых находят лишь с помощью логарифмического дифференцирования.
К таким функциям относится показательно-степенная функция .
Прологарифмируем выражение .
Найдем производную от обеих частей полученного равенства, учитывая, что является функцией от
.
Тогда
или .
Пример 1. Найти производную функции .
Прологарифмируем выражение:
Тогда
или .
Пример 2. Найти производную функции .
Прологарифмируем выражение:
Тогда
или
.
11.4. Производные высших порядков
Производная от функции есть также функция от и называется производной первого порядка.
Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка и обозначается .
Производная от производной ()-го порядка называется производной -го порядка и так далее. Начиная с четвертого порядка, производные обозначаются:
или , или и так далее.
Например: , , , , .
Физический смысл производной второго порядка.
Если функция описывет закон движения материальной точки по прямой линии, то – ускорение точки в момент времени .