Види середніх величин

В практиці статистичної обробки інформації в залежності від особливостей досліджуваних явищ застосовуються різні види середніх величин.

Середні величини в статистиці належать до класу степеневих середніх, які описує формула:

де x — рівень ознаки, варіанти; n - число варіантів; т — показник степеня середньої.

Зміна степеня середньої величини визначає її вигляд:

при т = 1 — середня арифметична;

при т = 0 — середня геометрична;

при m = -1 — середня гармонічна;

при т = 2 — середня квадратична;

при т = 3 — середня кубічна.

Із степеневих середніх у статистиці найчастіше використовують середню арифметичну, рідше — середню гармонічну, середню геометричну - тільки для обчислення середніх темпів динаміки, а середню квадратичну - для розрахунків показників варіації. Середню кубічну для статистичних розрахунків майже не використовують.

Залежно від характеру вихідної інформації середня будь-якого виду може бути простою чи зваженою. Середня величина позначається (риска над символом означає осереднення індивідуальних значень) і має таку саму одиницю вимірювання, як і індивідуальна ознака.

Питання про те, який вид середньої слід використати в кожному окремому випадку, вирішується шляхом конкретного аналізу досліджуваної сукупності і визначається матеріальним змістом досліджуваного явища.

Розрахунок середніх величин

Степінь	Вид середньої	Розрахункова формула середньої
		простої	зваженої
1	арифметична, а
0	геометрична, h
-1	гармонічна, g
2	квадратична, q

де, - значення ознаки;

f – частота (вага);

n – сукупності (n = )

w – вага (w=x*f).

Середня арифметична проста і зважена

Одним із найпоширеніших видів середніх величин є середня арифметична, її застосовують в тих випадках, коли обсяг варіаційної ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки окремих одиниць досліджуваної сукупності.

Середня арифметична може бути простою і зваженою.

Розглянемо розрахунок середньої арифметичної простої на наступному прикладі:

Припустимо, що треба обчислити середній рівень кваліфікації бригади із 10 робітників, тарифний розряд яких складає: 6, 3, 4, 3, 5, 2, 4, 5, 4, 4. Названі числа — це індивідуальні значення ознаки або варіанти. Для обчислення середнього тарифного розряду треба суму всіх значень ознаки (суму розрядів), тобто обсяг ознаки, розділити на кількість одиниць сукупності (кількість робітників в бригаді):

Позначивши варіанти x_1, x₂ ... x_n, цей розрахунок можна записати так:

Наведена формула має назву середньої арифметичної простої і застосовується тоді, коли розрахунок здійснюють на основі первинних, не згрупованих даних. В практиці аналітичної роботи нерідко виникає потреба розрахувати середні величини на основі згрупованих даних, передусім даних варіаційного ряду розподілу. Наприклад, наведені у попередньому прикладі дані про тарифні розряди робітників бригади, можна об'єднати в групи і записати у вигляді варіаційного ряду розподілу:

Ряд розподілу робітників за тарифними розрядами

Тарифний розряд робітників 2 3 4 5 6

Кількість робітників 1 2 4 2 1

У наведеному ряді розподілу варіанти - це розряди. Кожна з варіант має відповідну частоту, тобто кількість робітників. При обчисленні середньої за даними варіаційного ряду розподілу для визначення загального обсягу ознаки слід кожну з варіант помножити на частоту і отримані результати додати. Таке множення варіантів на їхні частоти в статистиці називають зважуванням, а обчислена в такий спосіб середня - середньою арифметичною зваженою.

Обчислення середньої арифметичної зваженої в наведеному прикладі матиме такий вигляд:

Якщо частоту (вагу) позначити f, то формула середньої арифметичної зваженої матиме такий вигляд:

Таким чином, для обчислення середньої арифметичної зваженої виконуються такі послідовні операції: знаходження добутків варіантів та їх частот, додавання одержаних добутків, ділення суми добутків на суму частот.

Частоти варіантів можуть бути не тільки абсолютними величинами, а й відносними у вигляді часток або відсотків.

Середня арифметична зважена застосовується у тих випадках, коли варіанти мають різні частоти. Використання незваженої середньої у таких випадках неприпустимо, тому що це неминуче призводить до викривлення статистичних показників.

Середні величини обчислюють за даними не тільки дискретних, а й інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки подають у вигляді інтервалу (від ... до).

В таких випадках для обчислення середньої величини спочатку потрібно перетворити інтервальний ряд на дискретний, для чого треба визначити середнє значення інтервалу кожної групи (центр інтервалу).

Середнє значення інтервалу дорівнює півсумі його верхньої та нижньої меж:

Якщо в рядах розподілу є відкриті інтервали, то в таких рядах величина інтервалу першої групи умовно дорівнює величині інтервалу наступної групи, а величина інтервалу останньої групи - величині інтервалу попередньої групи.