7. Структурні середні величини
Середні арифметична і гармонічна є узагальнюючими характеристиками сукупностей за тією чи іншою варіаційною ознакою. Водночас структуру цих сукупностей характеризують особливими показниками, які називають у статистиці структурними або порядковими середніми величинами. Зокрема, цe мода і медіана.
Мода (Мо) - це та варіанта, яка найчастіше повторюється в даній сукупності. Моду широко використовують у комерційній діяльності і в соціологічних дослідженнях, коли вивчають ринковий попит, реєструють рівень цін, встановлюють рейтинг популярності осіб чи товарів тощо.
Медіаною (Me) в статистиці називають варіанту, що є серединою впорядкованого варіаційного ряду розподілу, тобто ділить його на дві рівні частини: одна частина має значення варіюючої ознаки менше ніж середня, а друга - більше.
Мода і медіана, на відміну від степеневих середніх, є конкретними характеристиками варіаційного ряду, мають певні значення, і тому їх ще називають описовими характеристиками. Описові характеристики завжди відповідають певній варіанті. Мода і медіана не є типовими характеристиками для дослідження однорідних сукупностей з великою чисельністю одиниць.
Знайти моду і медіану в дискретному ряді розподілу не становить труднощів, оскільки варіанти відповідають конкретним значенням ознаки (певним числам).
В тому випадку, коли сума частот є парне число, і номер медіани відповідно є дробовим числом, то медіана лежить у середині сусідніх варіантів.
Отже, у дискретному варіаційному ряді дуже просто знаходити моду і медіану. В інтервальному ряді розподілу для наближеного визначення моди і медіани в межах певного інтервалу застосовують спеціальні розрахунки та відповідні формули.
Для знаходження модальної величини, що міститься в певному інтервалі, формула має такий вигляд:
де x0 - мінімальне значення ознаки в модальному інтервалі;
iMo - величина модального інтервалу;
fMo - частота модального інтервалу;
fMo-1 - частота інтервалу, що передує модальному;
fMo+1 - частота інтервалу наступного за модальним.
Медіана в інтервальному ряді розподілу визначається за формулою:
де x0 - мінімальне значення ознаки в медіанному інтервалі;
iMe - величина медіанного інтервалу;
-
сума
частот;
S - сума нагромаджених частот до медіанного інтервалу;
fMe - частота медіанного інтервалу.
Медіана не залежить ні від амплітуди коливань ряду, ні від розподілення частот у межах двох рівних частин ряду, її обчислюють для вирішення окремих завдань, пов'язаних із визначенням оптимуму, який співпадає з варіантою, що припадає на середину ряду.
Для обчислення медіани спочатку в інтервальному ряді розподілу визначають медіанний інтервал. Він відповідає такому, кумулятивна частота якого дорівнює чи перевищує номер медіани.
Величина моди і медіани, як правило, відрізняється від величини середньої і співпадає з нею тільки у випадку симетрії варіаційного ряду. Це пояснюється тим, що на величину моди і медіани не впливають значення варіант, не характерних для даної сукупності, скажімо, надмірно малі чи надмірно великі. При обчисленні середньої арифметичної до уваги беруться усі без винятку варіанти. Саме через це мода і медіана в окремих випадках мають свої переваги перед середньою арифметичною і використовуються при вирішенні деяких практичних завдань. Так, при плануванні обсягу виробництва, наприклад, швейної фабрики, орієнтуються не на середній розмір костюмів, а на найбільш "ходовий", тобто модальний. При виборі місця розташування заготівельного пункту зерна в тому чи іншому районі лише медіана визначить "точку", що дає найменшу відстань від всіх сільськогосподарських підприємств, які мають здавати зерно саме в цей пункт.