4. Математичні властивості середньої арифметичної Обчислення середньої арифметичної способом моментів
Середня арифметична має певні математичні властивості, використання яких дає можливість значно спростити її обчислення. Розглянемо найважливіші з цих властивостей.
1.
Добуток
середньої на суму частот завжди дорівнює
сумі добутку варіантів на частоти, тобто
2. Якщо від кожної варіанти відняти або додати будь-яке довільне число, то добута середня зменшиться або збільшиться на таке саме число, тобто:
3. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в і разів, то середня арифметична збільшується (зменшується в стільки ж разів, тобто
4. Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю.
5. Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини.
6. Якщо всі частоти поділити чи помножити на будь-яке число, то середня арифметична від цього не зміниться.
Викладені вище властивості середньої арифметичної дають можливість в багатьох випадках суттєво спростити її обчислення і, особливо, при розрахунках з великими числами або при великій їх кількості.
На підставі другої та третьої властивостей можна:
• відняти від кожної варіанти стале число, найкраще вибрати варіанту з найбільшою частотою;
• поділити всі варіанти на стале число, переважно за таке беруть інтервал.
Обчислення середньої арифметичної за вказаним способом дістало в статистиці назву способу відліку від умовного нуля, або способу моментів.
Обчислення середньої способом моментів використовують у рядах з рівними інтервалами і розрахункова формула має такий вигляд:
=
m1i
+ А,
де момент першого порядку обчислюють за формулою:
5. Середня гармонічна та умови її застосування
Характер первинних статистичних даних у деяких випадках виключає застосування середньої арифметичної. Поряд із середньою арифметичною в статистичних дослідженнях використовують інші види, зокрема, середню гармонічну.
За своїми властивостями середню гармонічну можна застосовувати тоді, коли загальний обсяг ознаки формується як сума зворотних значень варіантів.
Середня гармонічна - це величина, обернена середній арифметичній з обернених значень ознаки. За змістом середня гармонічна - це перетворена середня арифметична зважена, її використовують тоді, коли показники частоти (f), які виступають статистичною вагою, відсутні, але відомі добутки ознаки (х) на ваги (f), тобто показник w> (w = xf).
Отже, якщо крім значень ознаки відомі значення знаменника логічної формули (частоти), то середню розраховують за формулою арифметичної. А коли знаменник невідомий, використовується формула середньої гармонічної. Це правило, хоча й формальне за характером, забезпечує обґрунтований вибір, який узгоджується з логічною формулою.
6. Середня прогресивна
У практиці планування, розрахунку нормативів часто вдаються до визначення середньої прогресивної. Відомо, що при обчисленні загальної середньої для розрахунку беруть всі варіанти. При розрахунках середньої прогресивної враховують тільки кращі показники з точки зору інтересів виробництва.
Для обчислення середньої прогресивної діють таким чином. З усього ряду варіант (значень ознаки) будують ранжирований ряд і знаходять їх середнє значення, яке ділить ряд на дві частини: частина значень ряду нижче загальної середньої і частина ряду вище загальної середньої.
При обчисленні середніх прогресивних можливі два випадки:
Перший випадок. Кращими будуть показники ранжированого ряду, які є вищими від загальної середньої. Наприклад: урожайність, денний виробіток робітника, рентабельність.
У цьому випадку середню прогресивну визначають так
• з
усіх варіант (x)
визначають
загальну середню (
);
• відбирають кращі індивідуальні показники, тобто ті, які перевищують загальну середню;
• за
кращими показниками обчислюють нову
середню, яка і буде середньою прогресивною
(
).
Другий випадок. Характер показників такий, коли кращими будуть показники ранжированого ряду, які знаходяться нижче від загальної середньої.