Тема 7. Теорія та розрахунок лінійних кіл несинусоїдного струму Вступ

На практиці дуже часто застосовуються струми та напруги, які змінюються за несинусоїдним законом: це пилкоподібні та прямокутні імпульси, випрямлена напруга та інші (рис. 7.1).

- пилкоподібна напруга (телевізійні

генератори кадрової розгортки);

- прямокутні імпульси

(обчислювальна техніка);

- випрямлена напруга (при

двонапівперідному випрямленні)

Несинусоїдним періодичним сигналом (е, і, и, ф) називається сигнал, миттєве значення якого змінюється за періодичним несинусоїдним законом.

Несинусоїдні струми можуть бути також в електричних колах з синусоїдними ЕРС, якщо в колі є нелінійні елементи R, L, C.

7.1. Несинусоїдні періодичні сигнали, розкладання їх в ряд Фур’є

Аналіз та розрахунок несинусоїдних кіл можна спростити, якщо періодичну несинусоїдну функцію F(ωt), яка задовольняє умову Дірихле (функція обмежена і за період має скінчене число розривів І роду, максимумів і мінімумів), розкласти в тригонометричний ряд (ряд Фур’є або гармонічний ряд) такого вигляду:

F(ωt)=A₀+A₁ sin(ωt +ψ₁)+ A₂ sin(2ωt +ψ₂)+ A₃ sin(3ωt +ψ₃)+…=

=A₀+A_k sin(kωt +ψ_k ) – це перша форма запису ряду Фур’є,

де: А₀ – постійна складова ряду (середнє значення або нульова гармоніка);

A₁ sin(ωt+ψ₁) – головна або перша гармоніка, яка змінюється з частотою несинусоїдної функції ω;

A_k sin(kωt+ψ_k) – k-а гармоніка – це вищі гармоніки, які змінюються з частотою kω;

A_k, ψ_k – амплітуда та початкова фаза k-ої гармоніки;

F(ωt) – періодична несинусоїдна функція е, і, и, ф.

Врахуємо, що:

A_k sin(kωt+ψ_k )= A_k cos ψ_k sin kωt+A_k sinψ_k cos kωt =B_k sin kωt +C_k cos kωt,

де B_k =A_k cosψ_k; C_k=A_k sinψ_k.

Тоді ряд Фур’є запишеться так:

F(ωt)= A₀ + B_k sinkωt +C_k coskωt – це друга форма запису ряду Фур’є.

При розрахунку електричних кіл застосовують І або ІІ форми запису ряду Фур’є. Перехід від однієї до іншої форми здійснюється за формулами:

І → ІІ: B_k=A_k cos ψ_k; C_k=A_k sinψ_k.

ІІ → І: A_k=; ψ_k=arctg.

Знак ψ_k визначається за знаками sinψ_k і cosψ_k:

sinψ_k=, cosψ_k=

7.2. Визначення коефіцієнтів ряду Фур’є

Для того, щоб розкласти несинусоїдну функцію в ряд Фур’є, необхідно визначити коефіцієнти B_k, C_k і А₀, які являються амплітудами відповідних гармонік.

Коефіцієнти ряду Фур’є можна визначити аналітичним та графоаналітичним методами, або за допомогою спеціальних пристроїв.

Якщо несинусоїдна функція задана аналітично, то для визначення коефіцієнтів застосовують формули Ейлера:

А₀ ==;

B_k ==; (7.1)

C_k ==.

Об’єм роботи по визначенню B_k, C_k і А₀ можна зменшити, якщо несинусоїдна функція має якусь симетрію.

7.2.1. Ряди Фур’є симетричних функцій

Функції F(ωt) можуть бути симетричними відносно осей абсцис, ординат і початку координат, що впливає на структуру їх гармонічного ряду.

Функція, симетрична відносно осі абсцис

Для такої функції справедливо:

F(ωt)= -F(ωt+π).

В її ряду Фур’є відсутні нульова і всі парні гармоніки, тобто: А₀ = 0; А_2К = 0, тому

F(ωt)= sin[(2k-1)ωt+ψ_2k-1].

Функція, симетрична відносно осі ординат

Для такої функції виконується умова:

F(ωt)= F(-ωt).

В її ряду Фур’є відсутні синусоїди, тобто В_К=0, тому:

.

Функція, симетрична відносно початку координат

В цьому випадку:

F(ωt)=-F(-ωt),

а гармонічний ряд має тільки синусоїди, тобто А₀ = 0 і С_К = 0, тому

.

Таким чином, при розкладанні функцій в ряд Фур’є необхідно врахувати їх симетрію, що набагато спрощує процес визначення коефіцієнтів А₀, В_К, С_К.

7.2.2. Графоаналітичний метод визначення коефіцієнтів ряду Фур’є

Я кщо несинусоїдна періодична функція F(ωt) задана у вигляді графіка, то коефіцієнти ряду Фур’є А₀, В_К, С_К можна визначити графоаналітичним методом.

Період синусоїдної функції поділяють на m рівних ділянок (m=24) і вимірюють відповідні ординати F₀, F₁, …, F_m. Потім інтеграли в формулі Ейлера (7.1) заміняють наближеною сумою.

При цьому враховуємо, що:

∆(ωt)= , ωt = n, n =1,2…m.

Тоді

А₀=,

В_k =,

С_k =,

де n – порядковий номер ординати (n=1…m),

k – порядковий номер гармоніки (k=1…∞).

Число гармонік, котрі необхідно визначити, залежить від конкретного завдання. Але, взагалі, визначають перші три гармоніки, виконують їх побудову і додають. Якщо результуюча крива мало відрізняється за формою від заданої, то цим і обмежуються. Якщо ж має місце значне розходження кривих, то визначається ще одна гармоніка і т. д.

При побудові гармонік необхідно пам’ятати, що масштаб по осі абсцис для різних гармонік різний, а на інтервалі періоду першої гармоніки повинні розміститися k періодів k-тої гармоніки. Тому при побудові k-тої гармоніки її початкова фаза відкладається рівною