17. Зв’язок між нескінченно малими та нескінченно великими величинами.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв’язок: якщо х нескінченно велика величина, то y = 1/x - нескінченно мала, і навпаки, якщо у – нескінченно мала і у ≠ 0, то x=1/y буде нескінченно великою величиною.

18. Зв’язок нескінченно малих величин та границі функції в точці.

Постійна величина а називається границею змінної величини х, якщо абсолютна величина різниці х - а є величиною нескінченно малою, тобто |х - а| < ε.

Якщо число а є границею змінної х, то кажуть, що х прямує до границі а і позначають так: lim х = а або х→ а.

З цього означення границі випливає, що границя нескінченно малої величини дорівнює нулю, тобто lim α = 0 або а→0.

Нескінченно велика величина х границі не має, але умовно вважають, що границя нескінченно великої величини є ∞, тобто |х| → ∞ або lim x = ±∞.

19. Знаходження координат вектора за відомими координатами початку та вершини.

Відрізок, у якому точка A – початок, а точка B – вершина, наз. вектором. Нехай A (x₁;y₁), a B (x₂;y₂), то АВ(вектор) = (x₂-x₁; y₂-y₁)

20. Знаходження оберненої матриці через союзну.

Сою́зною (приє́днаною) до матриці A, називається матриця створена з алгебраїчних доповнень для відповідних елементів первісної матриці, і транспонована потому.

Обернена Матриця обчислюється за формулою A^-1 = A^*/det A

(det A – визначник матриці)

21.Канонічне рівняння площини в просторі: Аx + By + Cz + D = 0, де D =-Ax0-By0-Cz0.

22.Канонічне рівнянн прямої в 3-вимірному просторі

23. Колінеарні вектори, зв'язок між ними. 

Нехай  — вектори простору . Тоді вірні такі твердження:

1. Колінеарність - відношення еквівалентності, тобто воно рефлексивно: 

2. симметрично: 

3. транзитивній:

Нулевий вектор колінеарний будь якому вектору: 

Скалярний добуток векторів колінеарних дорівнює добутку довжин векторів  ) (взятих зі знаком «-», якщо вектори протилежно спрямовані)

Вектори на площині колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх Псевдоскалярний добуток дорівнює Колінеарні вектори лінійно залежні

Існує дійсне число  таке, щоо  для колінеарних  и , за виключенням особливоого випадку . Це означення а також критерій колінеарності.

На площині 2 неколінеарних вектора   утворюють базис. Це означає, що будь-який вектор  можна представити у вигляді: . Тоді  будуть координатами  в данному базисі.

Два ненульових (не рівних 0) вектора називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Припустимо, але не рекомендується синонім - «паралельні» вектори. Колінеарні вектори можуть бути однаково спрямовані («направлені») або протилежно направлені (в останньому випадку їх іноді називають «антиколлінеарнимі» або«антипаралельними»).

24.Критичні точки функції.

Критичною точкою диференційовної функції , де  — область в , називається точка, в якій всі її часткові похідні дорівнюють нулю. Ця умова еквівалентна рівності нулю диференціала функції в даній точці, а також рівносильна горизонтальності дотичної до графіка функції гіперплощини. Ця умова є необхідною (але не достатньою) для того, щоб внутрішня точка області могла бути точкою локального мінімуму або максимуму функції.

Значення функції в критичній точці називається критичним значенням. Згідно з лемою Сарда, множина критичних значень будь-якої -гладкої функції має нульову міру Лебега (хоча критичних точок при цьому може бути скільки завгодно, наприклад, для функції f = const будь-яка точка є критичною).

Поняття критичної точки допускає узагальнення на випадок диференційовних відображень , і на випадок диференційовних відображень довільних многовиді . У цьому випадку визначення критичної точки полягає в тому, що ранг матриці Якобі відображення f у ній менший максимального можливого (що дорівнюєmin{n,m}).

Критичні точки функцій і відображень грають важливу роль в таких галузях математики, як диференціальні рівняння, варіаційне числення, теорія стійкості, а також в механіці і фізиці. Дослідження критичних точок гладких відображень становить одне з основних питань теорії катастроф.

Поняття критичної точки узагальнюється також на випадок функціоналів, визначених на нескінченновимірних функціональних просторах. Пошук критичних точок таких функціоналів є важливою частиною варіаційного обчислення. Критичні точки функціоналів (які, у свою чергу, є функціями) називаються екстремалями.

25.Кут між двома векторами

      

26.

 Кут між двома прямими в просторі.Умови паралельності та перпендикулярності.Кут між двома прямими і , заданих рівняннями визначається як кут між їх направляючими векторами та тому, Якщо прямі і паралельні, то їх направляючі вектори і будуть колінеарні. Тоді одержимо умову паралельності двох прямих Якщо прямі і перпендикулярні, то , і ми маємо умову перпендикулярності двох прямих

27 Монотонні функції. 

Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід’ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.