Означення

Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію  Тоді

• функція f називається зроста́ючою на M, якщо

.

• функція f називається стро́го зроста́ючою на M, якщо

.

• функція f називається спадною на M, якщо

.

• функція f називається стро́го спадною на M, якщо

.

Приклад неспадної функції

(Строго) зростаюча чи спадна функція називається (строго) монотонною

28.Основні види матриць

Визначення матриці. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків і деяку кількість n стовпців. Основні поняття матриці: Числа m і n називаються порядками матриці. У випадку, якщо m = n, матриця називається квадратною, а число m = n - їїпорядком. У подальшому для запису матриці будуть застосовуватися позначення:

Хоча іноді в літературі зустрічається позначення:

Втім, для короткого позначення матриці часто використовується одна великабуква латинського алфавіту, (наприклад, А), або символ | | aij | |, а іноді і зроз'ясненням: A = | | aij | | = (aij) (i = 1, 2 ,..., m; j = 1,2, ... n) Числа aij, що входять до складу даної матриці, називаються її елементами. У записі aij перший індекс i означає номер рядка, а другий індекс j - номерстовпця. Наприклад, матриця

це матриця порядку 2 × 3, її елементи a11 = 1, a12 = x, a13 = 3, a21 =- 2y, ... Отже, ми ввели визначення матриці. Розглянемо види матриць і дамовідповідні до них визначення.

Види матриць

Введемо поняття матриць: квадратних, діагональних, одиничних і нульових. Визначення матриці квадратної: Квадратної матрицею n-го порядку називаєтьсяматриця розміру n × n. У разі квадратної матриці

вводяться поняття головної і побічної діагоналей. Головною діагоналлю матриціназивається діагональ, що йде з лівого верхнього кута матриці в правий нижнійїї кут.

Побічної діагоналлю тієї ж матриці називається діагональ, що йде з лівогонижнього кута в правий верхній кут.

Поняття діагональної матриці: діагональної називається квадратна матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналі дорівнюють нулю.

Одиничної (позначається Е іноді I) називається діагональна матриця з одиницями на головній діагоналі.

Нульова матриця в якій всі елементи рівні нулю.

Дві матриці А і В називаються рівними (А = В), якщо вони однакового розміру (тобто мають однакову кількість рядків і однакову кількість стовбців та їхвідповідні елементи рівні). Так, якщо

то А=B, если a₁₁=b₁₁, a₁₂=b₁₂, a₂₁=b₂₁, a₂₂=b₂₂

_29. Найбільше і найменше значення функції, поняття математичного аналізу. Значення, що приймається функцією в деякій точці безлічі, на якій ця функція задана, називається найбільшим (найменшим) на цій безлічі, якщо ні в якій іншій точці безлічі функція не має більшого (меншого) значення. Н. і н. з. ф. в порівнянні з її значеннями у всіх досить близьких крапках називаються екстремумами (відповідно максимумами і мінімумами) функції. Н. і н. з. ф., заданою на відрізку, можуть досягатися або в крапках, де похідна дорівнює нулю, або в крапках, де вона не існує, або на кінцях відрізання. Безперервна функція, задана на відрізку, обов'язково досягає на нім найбільшого і найменшого значень; якщо ж безперервну функцію розглядати на інтервалі (тобто відрізку з виключеними кінцями), то серед її значень на цьому інтервалі може не виявитися найбільшого або найменшого. Наприклад, функція в = x , задана на відрізку [0; 1], досягає найбільшого і найменшого значень відповідно при x = 1 і x = 0 (тобто на кінцях відрізання); якщо ж розглядати цю функцію на інтервалі (0; 1), то серед її значень на цьому інтервалі немає ні найбільшого, ні найменшого, оскільки для кожного x 0 завжди знайдеться точка цього інтервалу, лежача правіше (лівіше) x 0 , і така, що значення функції в цій крапці буде більше (відповідно менше), ніж в точці x 0 . Аналогічні твердження справедливі для функцій багатьох змінних.

30. Область визначення — множина допустимих значень аргументу функції. Позначається як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).

Якщо задані: числова множина  та правило , що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу  з множини певне число, то говорять, що задана функція  з областю визначення .

Тобто, визначення області значень є необхідною умовою визначення функції.

Визначення. Значення змінних, на яких задається функція , називають допустимими значеннями змінних.

Визначення. Значення змінних, при яких алгебраїчний вираз  має зміст, називають допустимими значеннями змінних.Множину всіх допустимих значень змінних називають областю допустимих значень змінних .

Визначення. Областю визначення рівняння  називають множину всіх тих значень зміної x, при яких алгебраїчні вирази  і  одночасно мають зміст.

Якщо функція задана формулою, то область визначення складається зі всіх значень незалежної змінної, при яких формула має зміст.

31. Обчислення оберненої матриці методом Жордана-Гауса.

Метод Гауса полягає в приведенні розширеної матриці до верхнього трикутного виразу. 32. Означення асимптот графіку функції

Асимптота – це пряма, доякої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько

33. Означення геометричного вектора.

Геометричний вектор - величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. 34. Означення границі функції в точці.

Число a називається границею функції f у точці x₀, якщо для як завгодно малого E>0 існує номер n₀ , який залежить від E, тобто для всіх n=>n₀ відстані між a_n та A<E

35. Означення графіка функції.

Графік функції - називається підмножина декартового добутку на (), що містить всі пари (x, y), для яких f(x)=y, це малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y в залежності від значення Х. 36. Означення неперервності функції в точці.

функція F (X), яка визначена в межах деякої точки х0, називається безперервною в точці х0, якщо межа функції та її значення в цій точці рівні. 37. Означення оберненої матриці.

Обернена матриця — для кожної невиродженої квадратної матриці , розмірності , завжди існує обернена матриця, позначається така що:

де одинична матриця.

38. Означення оберненої функції.

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення. 39. Означення п-вимірного вектора.

п-вимірний вектор – система декількох випадкових величин. 40. Означення похідної функції в точці.

Похідна функціх в точці – це границя відношення її приросту до приросту аргументу за умови, що прирість аргументу прямую до нуля.

41. Означення розв’язку СЛАР.

Розв'язати систему СЛАР – значить знайти такі значення невідомих = , = , .... = , при підстановці яких у систему СЛАР усі її рівняння обертаються у тотожність.

42. Означення скалярного добутку двох векторів.

Скалярний добуток двох векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів і cos кута між ними.

43. Означення скалярного добутку двох геометричних векторів.

Геометричний зміст векторного добутку – модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на прикладених до спільного початку векторах а та в

44. Означення складної функції.

Якщо змінна величина у залежить від другої змінної величини яка в свою чергу є функцією х, то у називають функцією від функції або складною функцією.

45. Означення точок екстремуму та екстремумів функції.

Точками екстремуму функції називаються точки мінімуму та максимуму функції. Екстремумами функціями називаються функції мінімуми та максимуми.

46. Опуклість та вгнутість кривої на інтервалі.

Графік диференційовної функції називається вгнутим на інтервалі якщо дуга кривої на цьому проміжку розташована вище дотичної, проведеної до графіка функції в довільній точці Якщо ж на інтервалі всяка дотична розташована вище дуги кривої, то графік диференційовної функції на цьому інтервалі називається опуклим.

47. Основні еквівалентні нескінченно малі функції. Функція називається нескінченно малою при якщо Функція називається нескінченно великою при якщо Нехай і нескінченно малі при і то: при нескінченно малі і називаються нескінченно малими одного порядку; при називають нескінченно малою вищого порядку ніж і пишуть ; при нескінченно малі і називаються еквівалентними і пишуть ~. Якщо і нескінченно малі функції при і ~ а ~ то

48. Основні правила диференціювання. Якщо дві диференційовні функції, то: Якщо функція має похідну в точці а функція має похідну в точці тоді складна функція в точці має похідну, що дорівнює (правило диференціювання складної функції). Нехай функція задана параметричними рівняннями Якщо при цьому на інтервалі має обернену то похідна обчислюється за формулою