56. Поняття функції та способи її задання.

Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у. Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний. Щоб задати функцію у = f (х), треба вказати її область визначення X, множину значень Y і правило f, за яким для довільного числа х X можна знайти відповідне йому число у Y.

57. Порядок відшукання інтервалів опуклості та вгнутості і точок перегину графіка функції. Інтервал перегину

1) визначити від функції похідну другого порядку і прирівняти її до нуля . З коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні корені і ті, які належать області існування функції;

2) визначити знак похідної другого порядку спочатку при значеннях , менших від розглядуваного кореня, а потім при значеннях , більших за даний корінь. Якщо при переході через вибраний корінь похідна змінює знак, то точка є точкою перегину заданої кривої. Якщо при переході через знак похідної другого порядку не змінюється, то не є точкою перегину кривої.

Інтервал опуклості та вгнутості

Інтервали, в яких дуги кривої опуклі, визначаються із нерівності f(x) < 0, а інтервали, в яких дуги кривої вгнуті, — із нерівності f(x) > 0. Темп зміни функції у = f(x) виражається її другою похідною f»(x). Якщо на інтервалі (a, Ь) темп зміни функції від’ємний, то функція на ньому опукла. Функція з додатнім темпом зміни вгнута на відповідному інтервалі. В цьому і заключається геометричний зміст темпу зміни функції.

58. Похилі асимптоти графіку функції.

Асимптота кривої (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при видаленні в нескінченність наближається як завгодно близько. Криві, що описуються рівняннями х³ + у³ — Заху = 0 (декартів лист) (+графік), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.

59. Правила знаходження екстремумів функції за допомогою другої похідної.

Якщо при х = з похідна позитивна (або негативна), то в досить малої околиці точки х = з приріст функції і прирощення аргументу в точці з мають однакові (або різні) знаки.

lim (Δy / Δx)> 0. Δx → 0

Якщо при х = з перша похідна функції f (x) дорівнює нулю, f '(c) = 0, а друга похідна позитивна, f "(c)> 0, то в точці х = з функція f (x) має мінімум; якщо ж друга похідна негативна, f "(с) <0, то в точці х = з функція f (x) має максимум.

f''(c) = lim ((f '(c + Δx)-f' (c)) / Δx)> 0. Δx → 0
Якщо знак числа f "(с),	то при х = з f (x) має
плюс мінус	мінімум максимум

60. Правила знаходження екстремумів функції за допомогою першої похідної.  1) знайти похідну даної функції; 2) прирівняти похідну нулю і вирішити отримане рівняння; з отриманих коренів відібрати дійсні і розташувати їх (для зручності) за їх величиною від меншого до більшого, у тому випадку, коли всі корені виявляються уявними, дана функція не має екстремуму; 3) визначити знак похідної в кожному із проміжків, відмежованих стаціонарними точками; 4) якщо похідна позитивна у проміжку, що лежить зліва від даної стаціонарної точки, і негативна в проміжку, що лежить праворуч від ніс, то дана точка є точка максимуму функції, якщо ж похідна негативна зліва і позитивна праворуч від даної стаціонарної точки, то дана точка є точка мінімуму функції; якщо похідна має один і той же знак як зліва, так і праворуч від стаціонарної тонкі, то в цій точці немає ні максимуму, ні мінімуму, функції; 5) затінити в даному виразі функції аргумент значенням, яке дає максимум або мінімум функції; отримаємо значення відповідно максимуму або мінімуму функції. Якщо функція має точки розриву, то ці точки повинні бути включені в число стаціонарних точок, розбивають Ох на проміжки, в яких визначається знак