49. Основні теореми про границі.

Теорема 1. Якщо функції і в точці мають границі, то сума і добуток цих функцій також мають у цій точці границю, причому ; . Теорема 2. Якщо функції і в точці мають границі й , то й функція має в цій точці границю, яка дорівнює . Теорема 3. Якщо при функція має границю A, то ця границя єдина. Приклади 1) . 2) . Зверніть увагу: скоротити дріб на можна, тому що в означенні границі . 3) — перша визначeна границя. 4) . 5) . Урахуємо, що , а функція є обмеженою. 

50. Параметричне рівняння прямої.

  

Відповіді з математики № 51-60

51. Парні та непарні функції. Періодичні функції.

Функція f називається парної, якщо для будь-якого x з її області визначення f (–x) = f (x). Функція f називається непарної, якщо для будь-якого x з її області визначення f (–x) = –f (x). Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повтороює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

52. Поняття нескінченно великих величин.

Змінна величина х називається нескінченно великою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед загаданого додатного числа N , тобто |x| > N.

53. Поняття нескінченно малих величин. 

Послідовність a_n називається нескінченно малою, якщо вона по абсолютному значенню стає і залишається меншою як завгодно малого наперед заданого числа ε > 0, починаючи з деякого місця.

Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

Властивості нескінченно малої

• Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала

• Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала

• Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала

• Відношення двох нескінченно малих величин не обов’язково є величина нескінченно мала

54. Поняття нескінченно малих однакового порядку малості.

Іноді доводиться розглядати не одну, а декілька нескінченно

малих функцій в даній точці. Такі функції порівнюють між собою за

допомогою границі їх відношення. Знайти границю такого відношення за

відомими теоремами про нескінченно малі і про границі не можна. Це не

випадково. Відношення двох нескінченно малих, залежно від характеру

зміни порівнюваних між собою нескінченно малих, може вести себе

по-різному: воно може бути або величиною, що прямує до скінченої,

відмінної від нуля границі, або величиною нескінченно малою, або

нескінченно великою, або величиною, яка має границі.

55. Поняття похідної вищого порядку.  Нехай функція задана на деякому проміжку і нехай всередині цього проміжку вона має похідну . Тоді може трапитися випадок, що , будучи функцією від , в деякій точці , а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції в точці.