10. Беконечно большие ф-ии: определение, характеристика порядка ббф, эквивалентные ббф. Примеры.

Если lim f(x)=∞ и lim f(x)=∞ , то ф-ия f(x) н-ся Б.Б.Ф.

xa x∞

Обозначаются: α(x) β(x) γ(x)

Пример: y=1/x² lim (1/x²)=∞ y=1/x² – Б.Б.Ф. при x0.

x0

Свойства Б.Б.Ф.

1) Пусть β(x) – ББФ, а y(x) – такая ф-ия, что удовлетворяет условию: y(x)>h>0 в некоторой окрестности т.а. h – некоторое вещественное число, β(x)*y(x)→∞ при xа.

2) Пусть β(x) – ББФ, а y(x) – ограниченная ф-ия в некоторой окрестности т.х=а. Тогда β(x)+y(x)→∞ при xа.

3) Если β(x) – ББФ, при xа, то 1/ β(x) – БМФ, при xа.

4) Если α(x) и β(х) – ББФ, при xа, x∞ lim (α(x) / β(х))=1, xa (∞)

то α(x) и β(х) н-ся эквивалентными ББФ,

Эквивалентные ББФ.

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…a₀ ~a_nxⁿ

при x∞

1) sin α(x)~ α(x), при x→0, т.к. lim (sin α(x) / α(x))=1, если sinα(x)→0; α(x)→0.

2) tg α(x)~ α(x), при….(аналогично как и в 1)

3) arcsin α(x)~ α(x), при….(аналогично как и в 1)

4) arctg α(x)~ α(x), при….(аналогично как и в 1)

16.Матрицы: определение, действия над матрицами, вычисление примеры. Матрица-прямоуг табл-ца, сост-ая из чисел либо из других объектов. Определитель вычислить можно а матницу нельзя.Объкты из кот сост-а матр-а назыв элемент-ми матрицы. элем-ты матр располаг по строкам, столбцам, диагон-ям. Если число строк=числу столб-ов, мытриц назыв квадрант, иначе прямоуг.(нарисовать). Матрица характериз-ся размер-тью , если m-число строк, а n-число столб-ов, то размерность матрицы m×n. Действия над матрицами. Сложение матриц. Матрицы одинак размерности можно складывать: A=(a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂), B=(b₁₁b₁₂b₂₁b₂₂), A+B=( a₁₁₊b₁₁ a₁₂₊b₁₂ a₂₁₊b₂₁ a₂₂₊b₂₂), умножение матрицы на число. Каждый элем-т матр умножается на это число. Св-ва действий. A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C, (j+ i)A=jA+iA, (IJ)A=(jA)i=(iA)j. перемножение матриц. Премножаются матрицы, у которых число столбцов 1 матр=числу строк 2 матр. A=(a₁₁a₁₂a₁₃ a₂₁a₂₂a₂₃), B=( b₁₁b₁₂b₁₂), A×B=( a₁₁b₁₁₊ a₁₂b₂₁₊ a₁₃b₃₁ a₂₁b₁₁₊ a₂₂b₂₁₊a₂₃b₃₁). Св-ва перемнож матр. A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA, A(BC)=(AB)C. Транспонир матриц. Операция над матр, при котор ее строки станов столбцами (с теми же номерами), а столбцы строками наз транспонир матр. A=(a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂) A*=(a₁₁a₂₁ a₁₂a₂₂). Св-ва: (A+B)*=A*+B*, (kA)*+kA*, (AB)*+A*B*

17.Ранг матрицы: определения, вычисления, примеры. Ранг матрицы - наивысший порядок минора отличного от нуля. rangA=число”N”. Матрицы, получ-иеся друг из друга элементарными преобрезов, назыв эквивал матрицыми и обознач ~. A~B, то rangA=rangB. Теораема: любуя прямоуг матрицу путем элемент преобразов можно привести к виду Ar=(1000…0 01000……0 001000…000).

18.Решение линейных систем уравнений порядка n*n. Способы решения (перечислить, привести примеры, совместимость системы, способы исследования).Матричный метод {a₁₁x+a₁₂y=b₁ a₁₂x+a₂₂y=b₂}(1), A=(a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂) x=(x y), B=(b₁ b₂) в сист-а (1) в матричном виде может быть записана как Ax=B-матричн-е урав-ие. X=A^-1B, A^-1=1/detA(A₁₁A₁₂A₂₁A₂₂), (x y)=A^-1(b₁ b₂), метод крамера. {a₁₁x+a₁₂y=b₁ a₁₂x+a₂₂y=b₂}(2) |A|≠0, |A|=⌂, |A|=(a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂), ⌂₁=|b₁a₁₂ b₂a₂₂|, ⌂₂=| a₁₁b₁ a₂₁b₂|, x₁=⌂₁/⌂, x₂=⌂₂/⌂; Метод гаусса. Исследование сиситемы.1) Ед.решение-сист совместна. Если ⌂≠0, то сист (1)-совместная, x=⌂x/x, y=⌂y/y ф-лы крамера. 2) если ⌂=⌂x=⌂y=0, то сист(1)-неопределена, т.е имеет множество решений. Ф-ла записи неопределенного ур-ия x=t b₁≠0, то y=(c₁-a₁t)/b₁.3) если ⌂=0, а ⌂x≠0, либо ⌂y≠0, то система (1)-несовместна

19.Решение произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Система m линейных ур-ий с n неизвестными. {a₁₁x₁+a₁₂x₂+….+a₁n_xn=b₁; a₁₂x₁+A₂₂X₂+…+a_2nx_n=b₂; a_m1x₁+a_m1x₁+…+a_mnx_n=b_n} (3) Теорема кронеккера-Капелли. Для исследов-я сис-мы (3) составл-ся две матрицы: 1) главная матрица сист-мы A=(a₁₁a₁₂…a_1n a₂₁a₂₂…a_2n a_m1a_m2…a_mn) 2) расширенная матрица системы (подчеркив сверху)A=(a₁₁a₁₂….a_1nb₁ a₂₁a₂₂…a_2nb₂ a_m1a_m2…a_mnb_n) если ранг матрицы rangA=rangA, то система счит совместн-й (имеет решения), если ранг совместн-й сист-мы= числу неизвестных, то сис-ма имеет единств-е решение. Если ранг совмест-ой системы меньше числа неизвестн-х, то система имеет бесчисл-е мн-во решений n-число неизвестных системы(3).rangA=rangA=n- 1 решение, rangA=rangA<n – бесчисленное множество решений, rangA≠rangA-решений нет.