12. Замечательный предел.(определение, вывод формулы). Геометрическая интерпретация Первый замечательный предел.

lim (sin(x)/x)=1,при x

S_∆OMN=1/2 sin(x) S_секOMN=1/2(x)S_∆OKN=1/2 tg(x) S_∆OMN<S_секOMN< S_∆OKN 1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x) sin(x)<x<tg(x) 1<x/sin(x)<1/cos(x) lim (1-cos(1/n))=0,при x +бесконечн lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1^{x0 x0} lim (x/sin(x))=0 ^x0 x>0 lim (x/sin(x))=1 ^x0 lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

11.Бесконечно малые ф-ии. Определение, характеристика порядка бмф, эквивалентные бмф. Примеры.

Бесконечне малые функции

Если lim f(x)=0 при x1 и lim f(x)=0 при xк бесконечн., то функуия f(x) наз. бесконечно малой.

Y= 1\a ² , lim 1\a ² =0 при limк бесконечн.

Существует связь между б.б.ф. и б.м.ф.

Если a(x) –бесконеч. малая ф-ия, a(x)x, то 1\ a(x) – б.б.ф., 1\ a(x)бесконечн.

Если b(x)к бесконечн., то 1\ b(x)

Т1

Существует связт между б.б.ф. и конечным пределом данной ф-ии:

Если ф-ия y=f(x) может быть представленна ввиде постоянного числа b и бесконечно малой ф-ии, то f(x)= b+a(x), то lim f(x)=b, при xa

B=const

a(x)-б.м.ф.

Т обр.

Если lim f(x)=b, то f(x)= b+a(x), где a(x)-(б.м.ф.)0, при xa

Свойства б.м.ф.

1. Алгебраическая сумма, конечного числа б.м.ф, есть ф-ия бесконечно малая.

a(x)0, то b(x)0, то a(x)+ b(x). , разность аналагична.

2. Если a(x)0 (б.м.ф.), а b<= М- ограниченная f(x), при xa, (xбесконечн.), то a(x)* b(x)0, xa, xбесконечн.

Следствие

1. Произведение б.м.ф. на постоянное число, есть ф-ия бесконечно малая, при xa, xбесконечн.

2. Произведение конечного числа б.м.ф., есть ф-ия бесконечно малая

a(x)0, b(x)0, a(x)* b(x)0 , если xa, xбесконечн.

3. Если a(x) и не образуется в ноль, то 1\ a(x)бесконечн.

Сравнения б. м.ф.

Пусть a(x) и b(x) – б.м.ф., тогда:

1. Если lim a(x)/ b(x) = А, xa то a(x) и b(x) – б.м.ф. одного порядка

2. Если lim a(x)/ b(x) = 1, xa то a(x) и b(x) – эквивалентны б.м.ф.

3. Если lim a(x)/ b(x) = 0, xa

Если lim a(x)/ b(x) = бесконечн., xа, то a(x) называется б.м.ф. и обозначается a(x)=0(b(x))

Эквивалентные б.м.ф.

1. sin a(x), при x0 ~ a(x)

lim sin a(x)/ a(x), x

sin a(x)0, a(x)0

2. tg a(x), при x0, ~ a(x)

lim tg a(x)/ a(x)=1

tg a(x), a(x)0

3. arcsin a(x), при x0, ~ a(x)

lim arcsin a(x)/ a(x)=1

arcsin a(x)0, a(x)0

4. arctg a(x), при x0 ~ a(x) - аналагично.

Примеры:

1. Lim 2x-1/x+2, при x1 = 1/3

2. Lim x ² -1/ (x-1) ² , при x,=(0/0)=бесконечности

3. Lim x ² +2x-3 / x ² -1, при x1 = (0/0) = Lim (x-1)(x+3)/ (x-1)(x+1) =2

14. Непрерывность ф-ии в точке. Классификация точек разряда.

Непрерывность ф-ии точки, классификация точек разрыва.

Y= f(x) непрерывна в точке x=A, если выполняется следующие условия.

• Ф-ия определена в этой точке и в ее окресности (f(x)-существует)

• Существует конечный предел ф-ии. f(x) в точке A

• Значение предела ф-ии в точке x=A равно значению ф-ии в этой точке, если хотя бы одно из условий определ. Не восполняется, то в точке x=A ф-ия терпит разрыв

Классификация точек разрыва. определена в этой точке и в ее окресности ( разрыва.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

1. точка x=A называется точкой разрыва первого рода, если lim f(x), при xа-0 не равен lim f(x), при xа+0 ( существует конечное число).

2. Точка x=A наз точкой устраненного разрыва, если lim f(x), при xа-0= lim f(x), при xа+0 и не равен f(а).

3. Точка x=A наз. Точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из левостор пределов ф-ии f(x) = бесконечности.

Определиние №2

Ф-ия Y= f(x) называется непрерывной при x=a, если она опредлена в некоторой окрестности этой точки или предел приращения ф-ии равен нулю если приращения аргумента равно 0.

Lim(f(a+дельта X)-f(a))=0=дельта Y

Свойства непрерывных ф-ии.

1. непрерывная на отрезке AB ф-ия достигает на этом отрезке по-меньшей мере один раз наибольшее значение М и наименьшее значение m.

Пусть ф-ия неприрывна на отр FB и на концах этого отрезка принимает значение разных знаков, тогда между точками a b b найдется по крайней мере одна точка C в которой ф-ия принимает значение =0

Пусть ф-ия Y= f(x) определена и неприрывна на отрезке AB. Если на концах этого отрезка ф-ия принимает значения f(a)= Af(b)=B, A не равно B, то для всякого числа M заключенного между ними найдется такая точка в которой f(c) = M.