20.Векторы: определение, линейные операции, характер.

Вектор-отрезок который хар-ся длинной, напр-ем, расположением (на пл-ти или в пр-ве). Длина вектора-число, обознач длину отрезка изображ вектор. Ноль вектор-вектор у которого начало и конец совпадает. единичный вектор-вектор длина которого равна единице. Противопол вектор: вектор противоп вектору а назыв вектор обознач –а и меющ с вектором а одинаковую длину и противопол направление. Векторы по величине не сравниваются(понятие >< не существ). Существ понятие равенство векторов. а=в, если |a|=|b|, направления совпадают, они коллинеарны(т.е распол на одой прямой либо на паралл прямых).

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ. Сложение. Правило параллелогр, треугольника(нарисовать). Св-ва операций сложения векторов: а+в=в+а(переместит),а+(в+с)=(а+в)+с(сочитат), а+(-а)=0. Разность векторов а и в. Под разностью векторов а и в (а-в) понимают такой вектор с, который с вектором в дает вектор а.(рис) Умножение вектора на число. Н*а. н=const, н>0, а сонаправлен с вектором н*а. |н*а|>|а| в н раз больше длины вектора а. Говорят при этом что н*а составлен из вектора а растяжением в н раз без изменения напревления. Св-ва. н*а=а*н, (н+м)*а=н*а+м*а, (нм)*а=н(м*а), с*а=а*а*а*…*а(с слагаемых), 0*а=0, а/н=(1/н)*а

21.Нелинейные операции над векторами: скалярное произведение векторов. Применение скалярного произведения (определение, свойство)

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. А*в=|a||b|cos α. Другая форма скалярного произвед векторов а и в через проекцию одного вектора через другой. Пр в на а=|b|cos α пр а на в= |a|cos α, ab=пр_a b |a|= пр_b a |b|. cos α= ab/|a||b|. Cв-ва скалярно произведения векторов. ав=ва, а(в+с)=ав+ас, аа=|a|², a0=0a=0. Условие перпендикулярности векторов.а┴в значит cos α=0, α=П/2, ав=0. Выражение скалярн произвед векторов в координатн форме. а{x1,y1,z1}, b{x2,y2,z1}.тройка векторов I,j,k назыв коорлин базисам, если эти вектора удовлетв условия: i на Оx, j на Oy, k на Оz, их направл-ие соответств с положительным направлением сист координат, их длины =1 |i|=|j|=|k|=1-базисные орты. Если i,j,k координ базис прямых системы координат, Oxyz, то каким бы ни был вектор а его можно представить в виде разложения по базису I,j,k которая имеет вид: а=xi+yj+zk, : а₁=x₁i+y₁j+z₁k, : а₂=x₂i+y₂j+z₂k. Ab= (xi+yj+zk)( x₁i+y₁j+z₁k)( x₂i+y₂j+z₂k)=…..=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂, cos α= (x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂)/ корень(x₁²+y₁²+z₁²)корень(x₂²+y₂²+z₂²). Ab=0, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0, a||b, x₁/x₂=y₁/y₁=z₁/z₂. Применение скалярного произведения. А=FS

22.Нелинейные операции над векторами: векторное произведение векторов, применение (определение, свойства). Векторное произведение векторов а и в назыв вектор, удовлетв следующим условиям: длина этого вектора является произвед длины этого вектора на sin угла между ними (|a||b|sin α) , расположен этот вектор ┴пл-ти векторов а и в, направление этого вектора находится по правилу правой руки. |а×b|=|a||b|sin α, [a×b] ┴a, [a×b] ┴b. Св-ва векторн произвед векторов. [a×b] = -[b×а], a×[b+c]=a×b+a×c, a×a=0. координаты векторного произвед векторов. a{x1, y1,z1} b{x2,y2,z2}. (формула) Условие коллинеарн-ти векторов в координ-ой форме. a||b следоват a×b=0. Применение векторного произвед векторов: в геометрии. Длина векторного произв векторов а и в численно равна пл-ди параллелогр постр на векторах а и в. В физике момент силы на вектор плеча M=F×OM.

24.Уравнение прямой на плоскости: все виды перечислить и уметь выводить уравнение прямой на плоскости (в векторной+координатной форме)

дано: M₀€l, N┴l, 1) M€l 2) M₀M€l M₀M{x-x₀,y-y₀} 3) N┴M₀M (рассмотр располож векторов) т.к N┴l, M₀M€l (условие ┴векторов M и M₀M) 4) N*M₀M=0-уравнение прямой, прох через заданную точку. Это усл записыв в координ форме A(x-x₀)+b(y-y₀)=0, M(x₀,y₀) €l, M(x,y)-текущая точка на прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, прох через задан точку. A(x-x₀)+B(y-y₀)=0, y-y₀=-(A/B)(x-x₀), K=-A/B-угловой коэфициент, y-y₀=K(x-x₀), K=tg α-угол наклона прямой l к оси Ox. Уравнение прямой в общем виде. A(x-x₀)+B(y-y₀)=0, Ax+By+(-Ax₀-By₀)=0, (-Ax₀-By₀)=const=C, Ax+By+C=0-уравнение прямой в общем виде. N{A,B}┴l, M(x,y)-текущая точка на прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Ax+By+C=0, y=-A/b x –C/b; k=-A/B; b=-C/B, y=Kx+B, k-угловой коэффициент прямой, k=tgα. Уравнение прямой в нормальном виде.M{x,y} €l, m ┴l, M1=m×l, OM{x,y}, OM1=p=пр_mOM. направление вект m можно определить по напр вект р₀ – единичный вектор этого направл. p=пр_р0ОМ= (р_о OM)/|p₀|, p= (р_о OM)/|p₀|, |p_o|=1, p₀{cos α,cos β}, cos β=cos(90- α), cos β=sin α, p_o{cos α,sin α}, cos² α+sin² α=1, p= (р_о OM)/|p₀|, p=p₀ OM -нормальное уравнение прямой в векторной форме, p=xcos α+ysin α, -p+xcos α+ysin α=0-уравнение прямой в нормальном виде, р-свободный член. Уравнение прямой прох через 2 заданные точки М₁М₂ ×М₁М=0 – уравнение прямой в векторной форме прох через 2 заданн точки. (x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁). Уравнение прямой в каноническом виде. (x-x₀)/m=(y-y₀)/n, S{m,n}-направляющий вектор прямой, M(x,y)-текущая точка на прямой. Параметрич уравнение прямой x=mt+x₀ и y=nt+y₀-параметрич уравнение прямой, n,m-координаты направл вектора прямой.

25.Уравнение прямой на плоскости в полярном виде. Полярное уравнение прямой.

M(ρ,φ)-текущая точка на прямой l, m┴l, M₁=m×l, OM₁=пр_мOM=p, p=ρcos(α-φ)-уравнение прямой в полярных координатах.

28.Расположение прямой на плоскости.

l₁||l₂, A₁x+B₁y+C₁=0

A₂x+B₂y+C₂=0, N₁||N₂ (если они паралл или совпадают) A₁/A₂=B₁/B₂ или A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂ – если прямые совпадают

2) пересечение прямых

l₁┴l₂ и N₁┴N₂, N₁N₂=0, A₁A₂+B₁B₂=0-условие ┴ прямых.

как углы с взаисно перпендик сторонами. cos α=N₁N₂/|N₁||N₂|, cosα=(A₁A₂+B₁B₂)/корень(A₁²+B₁²)корень(A₂²+B₂²)-

нахожление угла между пересек прямыми. Другая формула нахождения угла.

α₁-угол между l₁ и Ox, α₂-угол между l₂ и Oy, tg α₁=K₁, tg α₂=K₂, φ= α₂ – α₁,tgφ=tg(α₂-α₁), tg φ=(tg α₂-tg α₁)/(1+tg α₂tg α₁), tg φ=(K₂-K₁)/(1-K₂K₁), если φ=180, то l₁||l₂, tg φ=0 K₁=K₂ если φ=90, l₁ ┴l₂ tg φ→∞. 1+K₁+K₂=0 → K₁K₂=-1