1. Постановка задачи

Вал с моментом инер­ции Jo, на который действуют момент движущих сил М_д = М_д(φ) и момент сил сопротивления М_с, разгоняется при повороте на угол φ_р. После этого действие движущего момента прекращается (момент М_с продолжает действовать), начинается торможение, в процессе которо­го вал повернется до остановки на угол φ_T за счет накопленной при разгоне кинетической энергии.

Требуется:

а) определить зависимости от угла поворота φ скорости ω(φ), ускоре­ния ε(φ), времени t( φ);

б) установить время Т_р поворота на угол φ_р и время Т_т поворота на угол φ _T;

в) по полученным данным построить графики ω (φ), ε (φ), t (φ) для угла поворота [0, φ _р + φ _T].

Рисунок 1.1

Вариант	Момент инерции Jo, кг·м^2	Закон изменения движущего момента Мд, Н·м	Момент сопротивления Мс, Н·м	Н·м	cC	φ рад	ТN
26	2		7.6	17.2	0.4	0.3	12

Таблица 1.1 – Исходные данные

2. Математическая модель задачи.

Анализ вра­щательного движений тел показывает, что исходными данными для определения параметров движения (перемещения, скорости, ускоре­ния, времени) являются моменты инерции (J_o), моменты (M_Д), моменты (М_с) сопротивления, а также начальные значения параметров движения.

При использовании дискретной модели задачи весь путь (линейный и угловой) разбивается на некоторое количество элементарных участ­ков длиной Δ φ = φ_i –φ_i-1 (рис. 2.1).

Рисунок 1.2 – расчетная схема.

На каждом интервале связь кинематических, силовых и массовых параметров описывается теоремой об изменении кинетической энер­гии, в частности:

для вращательного движения

, (1.1)

Где момент инерции

- угловая скорость

- угол

- движущий момент

- Момент сопротивления

откуда можно выразить скорость движения:

. (1.2)

При определении времени Δt прохождения участка Δφ, бу­дем считать скорость движения постоянной, равной средней скорости в пределах участка:

Тогда

,

откуда

или . (1.3)

Где – значение времени

- среднее значение скорости

- значение угла поворота

Аналогично, предполагая, что ускорение ε _i на участке Δφ постоянно, имеем

. (1.4)

Где - элементарные участки при разгоне

Применим построенную математическую модель к расчету параметров поступательного движения тела на участке разгона [0, φ_P] и на участке торможения [φ _p, φ_p + φ_Т].

Разобьем каждый из участков движения на n равных элементарных участков длиной и соответственно. Получим промежуточные положения тела от 1 до 2n+1. Переменная i определяет номер промежуточного положения тела. К участку разгона относятся положения с номерами от от 1 до n+1.

Начальные параметры движения в положении i=1 считаются известными и равными φ ₁=0, ω₁=0, t₁=0. Начальное ускорение ε₁ определяется из закона Ньютона, который при i=1 примет вид:

(1.5)

где M_Д(φ ₁) определяется с учетом задания (см. табл. 1.1).

Для остальных положений тела при i=2,…,n+1 параметры движения определяются в соответствии с математической моделью по формулам:

или ; (1.6)

; (1.7)

; (1.8)

; (1.9)

. (1.10)

Интеграл в формуле (1.7) содержит аналитически заданную функцию с переменной интегрирования φ. Он может быть вычислен:

1. точно – с использованием первообразной по формуле Ньютона – Лейбница;

2. приближенно – по методу трапеций.

Расчет параметров движения на участке торможения требует предварительного определения его длинны φ_Т. При этом исходим из условия, что вся накопленная при разгоне кинетическая энергия расходуется на преодоление момента сопротивления М_с совершающего работу:

т.е.

,

откуда

. (1.11)

Где - момент инерции

- угловая скорость

- момент сопротивления

Начальные параметры для участка торможения, соответствующие положению i=n+1, частично являются известными. Так, из процесса получены φ _n+1, ω_n+1, t_n+1. При переходе к торможению имеет место разрыв функции ускорения. Новое значения ускорения, соответствующее началу участка торможения ровно:

(1.12)

Где - ускорение

- угловая скорость

- момент сопротивления

Параметры движения в промежуточных положениях участка торможения при i=n+2,…,2n+1 определяются по формулам (1.6 , 1.7 , 1.8, 1.9,1.10)

Быстродействие на участке разгона будет равно , а на участке торможения или .