2 lectures

T1 T2

4.4 Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова. Понятие запасов устойчивости

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по ее частотным характеристикам в разомкнутом состоянии

(рисунок 4.4).

Рис. 4.4

Существуют две формулировки критерия Найквиста:

1)для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, замкнутая система будет тоже устойчивой, если годограф передаточной функции разомкнутой системы W ( j ) не охватывает точку –1 на комплексной плоскости при изменении частоты 0 ;

2)для системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, замкнутая система будет устойчивой, если годограф передаточной функции

разомкнутой системы W ( j ) охватывает точку –1 на комплексной плоскости в положительном направлении mр раз при изменении частоты

2

0 , где mр – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы в правой полуплоскости.

По годографу или соответствующим ЛАФЧХ разомкнутой системы вводится количественная мера устойчивости в виде запасов устойчивости по фазе и модулю. Запас по фазе c определяют на частоте среза с системы, когда амплитуды входного и выходного сигналов равны, а запас по модулю Hm на частоте , где фазовая частотная характеристика равна 180 .

На рисунке 4.5 показан пример системы, передаточная функция в разомкнутом состоянии которой содержит три устойчивых

апериодических звеньев, содержащих две заданные постоянные времени и варьируемый коэффициент усиления K.

Соответствующие запасы устойчивости показаны на годографе передаточной функции разомкнутой системы (рисунок 4.5, а) и ее ЛАФЧХ (рисунок 4.5, б).

Рис. 4.5

Из рисунков видно, что с ростом коэффициента усиления K увеличивается частота среза и запасы устойчивости уменьшаются. Для предельного значения коэффициента усиления Kпр запасы устойчивости становятся нулевыми, а это означает, что система оказывается на границе области устойчивости, поскольку годограф W ( j ) проходит через точку -1 на частоте с .

Дальнейшее увеличение коэффициента усиления K > Kпр приводит к неустойчивости замкнутой системы, так как годограф W ( j )

будет охватывать точку -1.

Презентация 5. Исследование качества и точности регулирования

5.1	Основные показатели качества регулирования ..........................................................................................................................................................	2
5.2	Понятие корневого годографа ......................................................................................................................................................................................	4
5.3	Оценка качества регулирования с помощью корневого годографа..........................................................................................................................	6
5.4	Исследование точности регулирования.......................................................................................................................................................................	8

5.1 Основные показатели качества регулирования

Напомним, что о качестве регулирования судят по реакции системы на скачкообразное изменение входного сигнала. При этом,

анализируя временные характеристики, можно выделить ряд так называемых показателей качества:

время регулирования,

максимальное перерегулирование,

число колебаний за время регулирования,

скорость нарастания сигнала на выходе

ит.д.

Причем среди основных показателей выделяют время регулирования и максимальное перерегулирование. Время регулирования определяют по пяти процентной зоне относительно установившегося значения выходного сигнала, а максимальное перерегулирование по максимальному выбросу за пределы установившегося уровня (рисунок 5.1).

Рис. 5.1

5.2 Понятие корневого годографа

Определение. Корневой годограф – траектории корней характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости при изменении коэффициента усиления от нуля до бесконечности.

Примечание. Рассматривается случай с отрицательной обратной связью.

Корневой годограф предназначен для:

исследования устойчивости,

оценки характера переходных процессов.

Корневой годограф можно легко получить, используя вычислительные средства, но качественно построить его можно и вручную с помощью правил построения корневых годографов. Ниже перечислены некоторые из них:

Количество траекторий корневого годографа равно порядку системы (порядку полинома знаменателя передаточной функции),

Все траектории корневого годографа непрерывны,

Комплексные части траекторий всегда сопряжены,

Траектории корневого годографа выходят из полюсов разомкнутой системы,

Траектории корневого годографа заканчиваются в нулях системы (корнях полинома числителя передаточной функции) или асимптотически уходят на бесконечность

Та часть действительной оси принадлежит корневому годографу, правее которой располагается нечетное количество нулей и

полюсов разомкнутой системы.

На рисунке 5.2 показан пример корневого годографа некоторой системы.

Рис. 5.2

5.3 Оценка качества регулирования с помощью корневого годографа

Как уже было сказано, корневой годограф позволяет проводить оценку характера переходных процессов в системе.

Продемонстрируем на примере системы, показанной на рисунке 5.3.

Рис. 5.3

Показатели качества регулирования оценим по корневому годографу, представленному на рисунке 5.4. В соответствии с расположением корней для семи значений коэффициента усиления K представлены переходные процессы на выходе системы.

В случае а) передаточная функция замкнутой системы содержит два неустойчивых апериодических звена, из-за которых переходная характеристика неограниченно монотонно возрастает, тогда как в случае б) неустойчивость носит колебательный характер из-за пары комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью. Случай в) соответствует предельному значению коэффициента усиления K3 = Kпр, когда система находится на границе области устойчивости и в ней возникают периодические колебания.

На рисунке 5.4, г и д представлены устойчивые колебательные процессы, сильно отличающиеся качеством регулирования. Так, для K =

K4 корни располагаются близко к мнимой оси и имеют небольшой коэффициент затухания, определяемый как sin , что порождает долго незатухающий процесс.

А в случае K = K5 корни находятся на значительном расстоянии от мнимой оси и коэффициент затухания при этом увеличивается, что приводит к быстрому переходному процессу с малым числом колебаний.

Для коэффициента усиления K6 корни становятся кратными действительными и с дальнейшим увеличением K один корень стремится к

бесконечности по отрицательной части действительной оси, а другой движется к нулю в точке 1 . В переходных процессах, показанных

Tд

на рисунке 5.4, е для значений коэффициентов усиления K6 и K7 отсутствует колебательная составляющая, но перерегулирование возникает из-за доминирующего нуля передаточной функции.

Анализ по корневому годографу показывает, что с увеличением коэффициента усиления показатели качества возрастают.

Рис. 5.4

5.4 Исследование точности регулирования

О точности регулирования судят по сигналу ошибки, т. е. разности входного и выходного сигналов. Анализ точности линейной

системы проводят с помощью разложения в степенной ряд передаточной функции ошибки (s)

1

:

1

W (s)

(s) c

c1

s

c2

s 2

...

cn

s n ...,

0

1!

2!

n!

где C

d i

(s)

.

i

dsi

s 0

Этот ряд является сходящимся при s < 1, что во временной области означает t > tр. Переходя к сигналам во временной области,

получим выражение установившейся ошибки

C

du

C

2

d 2u

C

n

d nu

(t) C

u(t)

1

...

...

0

1!

dt

2!

dt2

n!

dtn