Вопрос 25.

Пропускная способность непрерывных (аналоговых) каналов

Независимо от характера преобразований сигналов, происходящих в конкретном непрерывном канале связи, можно рассматривать этот канал как некоторый преобразователь (рис. 3.4), устанавливающий соответствие между сигналами на выходе z(t) и на входе y(t). В результате воздействия помех (шумов) соотношение между z(t) и y(t) носит вероятностный характер.

Рис. 3.4. Структура непрерывного канала

Количество информации, содержащейся в случайном сигнале Z_T, о случайном сигнале Y_T находится как

I(Z_T,Y_T) = H(Z_T) – H(Z_T/Y_T) . (3.16)

Рассмотрим случай, когда входной y(t) и выходной z(t) сигналы являются стационарными, эргодическими и стационарно связанными функциями времени. Выберем отрезки этих функций на временном интервале Т, полагая, что вне этого интервала y(t) и z(t) невелики, так что функции y_T (t) и z_T (t) с допустимой погрешностью определяются m отсчетами сигналов, взятыми в соответствии с теоремой Котельникова. В этом случае

H(Z_T) = mH(Z), (3.17)

H(Z_T/Y_T) = mH(Z/Y), (3.18)

в которых H(Z) – энтропия одного отсчета сигнала z_T (t), а Н(Z/Y) – условная энтропия отсчета.

Из выражений (3.16) – (3.18) получаем

I(Z,Y) = mH(Z) – mH(Z/Y), (3.19)

где индексы опущены, так как они отсутствуют в правой части равенства.

При сделанных допущениях скорость передачи информации в непрерывном канале можно определить как

, (3.20)

где ; Т₀ – период отсчетов непрерывных сигналов z_T (t) и y_T (t), определяемый теоремой Котельникова: (здесь F_m – максимальная частота спектра сигналов),

^{, (3.21)}

^{. (3.22)}

Из соотношений (3.20) – (3.22) следует, что скорость передачи информации в непрерывном канале (поток информации, получаемый на выходе канала) зависит от характеристик помех, действующих в канале и определяющих функцию W(z/y), и от статистики передаваемых (преобразуемых) сигналов W(y), так как .

Если W(z/y) определяется свойствами канала, то, варьируя W(y), можно найти такую функцию распределения входного сигнала y(t), при которой поток получаемой информации будет наибольшим. Эти соображения позволяют написать выражение для пропускной способности непрерывного канала в виде соотношения

.

Вопрос26. Формула Шеннона для аналогового канала с шумами.

Рассмотрим случай, когда помеха в канале действует как аддитивный шум n(t), т.е.

z(t) = y(t) +n(t).

Допустим также, что этот шум – стационарный, имеет нормальный закон распределения и его средняя мощность равна его дисперсии P_ш=_N² (_N² – дисперсия сигнала помехи). Заметим, что шум с нормальным законом распределения обладает максимальной энтропией, следовательно, такой шум создает максимальное воздействие на полезный сигнал.

Определив пропускную способность канала, примем во внимание, что его полоса частот пропускания ограничена пределами от 0 до F_m, а средняя мощность Р_c полезного сигнала y(t) выражается через его дисперсию: P_c = _Y².

С учетом ограничения полосы частот пропускания канала спектры частот сигналов y(t), z(t) и n(t) не должны превышать частоты F_m. В этом случае , и тогда выражение (3.20) можно представить так:

.

В случае аддитивной помехи последнее выражение можно записать как

, (3.24)

где H(N) – энтропия источника помехи (в нашем случае) с нормальным законом распределения, имеющим вид

. (3.25)

Энтропию такого источника найдем по формуле

. (3.26)

Так как и , из выражения (3.26) с учетом (3.25) получим

(3.27)

Пропускную способность рассматриваемого канала можно найти с учетом (3.24) и (3.27) в виде

. (3.28)

Поскольку F_m и _N в нашем случае заданы, то выражение, стоящее в квадратных скобках, будет наибольшим, если энтропия выходных сигналов канала H(Z) будет максимальной. Так как средние мощности полезного сигнала y(t) и шума n(t) ограничены, то их аддитивная смесь на выходе канала z(t) будет также иметь ограниченную мощность. При таком условии известно, что H(Z) будет наибольшей, если z(t) имеет нормальный закон распределения. Поскольку помеха имеет нормальный закон распределения, то и полезный сигнал y(t) должен иметь нормальный закон распределения. Если полезный сигнал и сигнал помехи статистически независимы, то _Z² =_Y² + _N² и, следовательно,

.

Подставляя это значение H(Z) в (2.13) и учитывая обозначения _Y²=Р_с и _N²=Р_ш, получаем

. (3.29)

Выражение (3.29) представляет собой широко известную формулу Шеннона. Учитывая важность формулы Шеннона, проводим ее более детальное обсуждение. Из равенства (3.29) следует, что увеличить пропускную способность непрерывного канала можно или за счет расширения его полосы частот пропускания F_m и соответствующего расширения спектра полезного сигнала, или за счет увеличения мощности полезного сигнала Р_с.

Из рассмотрения формулы (3.29) следует, что одно и то же значение пропускной способности можно получить при разных комбинациях значений полосы частот пропускания канала и отношения Р_с /Р_ш.