1rabinovich_s_g_pogreshnosti_izmereniy

В общем случае уравнение (6-1) при нелинейных косвенных измерениях

можно представить как произведение некоторых функций

A= ∏ fi (Ai ).

i=1m

Вчастном случае A = f (Ai ).

Вслучае зависимости между величинами смешанного типа уравнение (6-1)

принимает вид

m	(Ai	r	(Al	)
A = ∏ fi		)+ ... + ∏ fl
i =1		l =1		.

Если известны методы обработки результатов наблюдений для нелинейных и линейных косвенных измерений, то аналогичная задача для

случая с зависимостью смешанного типа элементарно сводится к двум предыдущим. Поэтому специально этот вид косвенных измерений можно не рассматривать.

Косвенные измерения, так же как и прямые, делят на статические и динамические. Статические косвенные измерения могут быть весьма различными в зависимости от свойств измеряемых аргументов. Если измеряемые аргументы можно считать неизменными во времени, то неизменна и косвенно измеряемая величина, т.е. имеем обычную статическую ситуацию.

Однако измеряемая величина может быть неизменной и тогда, когда аргументы изменяются. Например, измеряем сопротивление резистора методом амперметра и вольтметра, и по условиям измерения напряжение источника изменяется во времени. Хотя измеряемые аргументы изменяются, измеряемая величина остается неизменной. Такие косвенные измерения назовем квазистатическими.

Для получения правильного результата в рассматриваемом случае аргументы необходимо измерять такими приборами, чтобы за время

установления показаний приборов изменения аргументов можно было считать незначительными.

Косвенные измерения в принципе возможны и тогда, когда изменяются во времени и измеряемые аргументы, и сама косвенно измеряемая величина.

Косвенные измерения, при которых средства измерений или часть их находятся в динамическом режиме, в соответствии с общим определением динамических измерений надо считать динамическими.

Кроме того, следует различать статистические и обыкновенные косвенные измерения.

Специфическим приемом выполнения косвенных измерений является одновременное измерение аргументов. Последнее позволяет подставить одновременно полученные значения аргументов в соотношение, связывающее с ними измеряемую величину,

и получить таким образом мгновенное значение измеряемой величины, отвечающее моменту времени измерения аргументов. Совокупность таких значений ничем не отличается от совокупности мгновенных значений величины, полученной при прямых измерениях.

Получаемые рассмотренным путем совокупности мгновенных значений естественно обрабатывать так же, как и совокупности данных, получаемые при прямых измерениях.

Приведение косвенных измерений к прямым целесообразно не только при динамических, но — в случае сложной нелинейной зависимости измеряемой величины от измеряемых аргументов — и при статических косвенных измерениях. Необходимым условием осуществления этого приема является согласованное, например одновременное, измерение аргументов.

Способ выполнения косвенных измерений, при котором получают группу значений измеряемой величины и, обрабатывая ее как группу наблюдений при прямых измерениях, находят результат косвенного измерения, будем называть методом приведения.

Данная выше классификация и излагаемые далее методы оценивания погрешностей косвенных измерений в основном соответствуют работе [33].

6-2. Линейные косвенные измерения

Линейная функциональная зависимость между измеряемой величиной A и измеряемыми аргументами Ai в общем виде выражается формулой

m
A = åbi Ai ,	(6-2)

i =1

где bi — постоянный коэффициент для i-го аргумента.

Если взять случайную величину Y , связанную линейной зависимостью со случайными величинами Xi ,

Y= åbi Xi ,

i=1m

то

		m		[X i	].
	M [Y ]= åbi M
		i=1
	Поэтому, располагая оценками аргументов					Ai , за оценку измеряемой
	величины A естественно принять
	~	m	~					(6-3)
	A = åbi Ai
		i=1					~
	так как при несмещенности и состоятельности					оценок		в этом случае
							Ai
	получим несмещенную и состоятельную оценку					~
						A .

Кроме того,

						m	].
			D[Y ]= åb2i D[X i
				~		i=1
	Следовательно, если оценки				обладают минимальной дисперсией, т. е.
				Ai
	являются эффективными, то и оценка				~
					A будет эффективной.
	Каждая полученная		оценка		~	обладает		некоторой	фиксированной
				Ai
	погрешностью	~	причем			ζi = ϑi +ψi	,	где ϑi ,	ψi — реализации
		ζi = Ai - Ai ,

систематической и случайной составляющих погрешности соответственно. Случайная составляющая погрешности измерения аргумента Ai изменяется

от одной группы наблюдений к другой, если измерение выполняется с многократными наблюдениями, т. е. как статистическое измерение, или от одного измерения к другому, если оно выполняется как обыкновенное. Однако в

обоих случаях благодаря выделению систематической составляющей

M [ψi ]= 0 .

В условиях конкретного измерения реализация систематической составляющей погрешности остается неизменной. Она может быть иной при

измерении того же аргумента с использованием других экземпляров средств измерений. Методика оценивания этого эффекта приведена в гл. 4.

Из погрешностей измерений аргументов складывается погрешность результата косвенного измерения. Подставляя в (6-3) оценки Ai получим

~	m	(Ai +ζ i ).
A = åbi
	i=1
Отсюда находим погрешность косвенного измерения
~	~	m	m
ζ = A - A =	A - åbi Ai = åbiζ i ,
		i=1	i=1
т. е.
m			m
ζ = åbiϑi +			åbiψi .	(6-4)
i=1			i =1

Таким образом, при косвенных измерениях путем суммирования

составляющих приходится находить не только границы систематической погрешности результата, как при прямых измерениях, но и случайные погрешности.

Рассмотрим сначала случайные погрешности результата косвенного измерения. Реализации систематических составляющих погрешностей оценок всех Ai при этом нужно считать неизменными. Найдем дисперсию случайной

погрешности

é m	ù	m	].
D[ζ ]= Dêåbiζ i ú		= åbi2 D[ψ i
ë i=1	û	i=1

Заметим, что [ζ ]= [ψ ]= [~].

D D D A

Приведенное соотношение справедливо в случае независимости погрешностей измерений аргументов. Если же между погрешностями измерений аргументов имеется корреляция, то

	~	m	2		m
D[ζ ]				D[ψ i			]D[ψ l	],
	= D[A]= åbi				]+ 2åbk bl ρkl D[ψ k
		i=1			k ¹l
где ρkl — коэффициент	корреляции				между случайными				погрешностями
измерений k-го и i-го аргументов.
Ввиду линейности	уравнения			(6-3) полученные			соотношения между

дисперсиями величин справедливы и для оценок дисперсий. Таким образом,

получаем оценку дисперсии результата измерения

S

2

m

2

2

m ~

(6-5)

= åbi

Si

+ 2åρklbkbl Sk Sl

i=1

k ¹l

2

результата измерения, т. е.

S

2

= S

2

~

2

—

где S — оценка дисперсии

(A),

Si

оценка дисперсии результата измерения i-гo аргумента, т. е.

2

= S

2

~

),

Si

(Ai

~

ρkl =

å(xkj	− Ak )(xlj	− Al )
n	~	~
j =1
	Sk Sl

— оценка коэффициента корреляции между погрешностями измерений аргументов Ak и Al .

Коэффициент корреляции, как известно, определяет степень связи между случайными величинами [49]. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале от –1 до +1. Для случайных погрешностей измерений аргументов Ak и Al может быть, что −1≤ ρkl ≤ +1. Если ρkl = 0 , то погрешности

измерений аргументов Ak и Al некоррелированы.

Коэффициент корреляции ρkl =1 тогда и только тогда, когда между результатами наблюдений xkj и xlj существует линейная функциональная

зависимость.

Корреляция между погрешностями измерений аргументов чаще всего возникает в тех случаях, когда измерения выполняются одновременно и изменения влияющих величин (температуры воздуха, напряжения питания и т. п.), хотя и допустимые сами по себе, оказывают некоторое влияние на результаты наблюдений. Если же аргументы измеряют в разное время и для их измерений применяют разные по устройству средства измерений, то нет

оснований ожидать появления корреляции между погрешностями этих измерений. В этих случаях в формуле (6-5) вторым членом можно пренебречь,

после чего она примет вид

S	2	~	m	2	2	~	)	(6-6)
		(A)= åbi			Si	(Ai

i=1

Моделью для рассеивания наблюдений, обусловленных случайной погрешностью измерения каждого из аргументов, обычно можно считать случайную величину с нормальным распределением вероятностей. Но даже если какое-либо из этих распределений и следует считать отличающимся от нормального, распределение среднего арифметического при этом все же практически можно считать нормальным. Случайную же погрешность результата косвенного измерения, образующуюся путем сложения случайных погрешностей результатов измерений аргументов, еще с большим основанием можно считать нормально распределенной случайной величиной. Это позволяет

найти доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины A .

Если число наблюдений, выполненных при измерении всех аргументов, превышает 25—30, то доверительная граница случайной погрешности ψ

результата косвенного измерения будет

	~					(6-7)
			ψ = z1+α S(A),
				2
где	z1+α — квантиль нормированного нормального					распределения,
		2
соответствующая выбранной доверительней вероятности α .
	Трудность возникает при меньшем числе наблюдений.					В принципе при

этом можно было бы воспользоваться распределением Стьюдента, но неизвестно, как определить число степеней свободы. Можно лишь утверждать, что оно должно быть больше, чем число степеней свободы; отвечающее аргументу, при измерении которого сделано минимальное число наблюдений.

Точного решения задача не имеет. Приближенную оценку числа степеней свободы, называемую эффективной, можно найти по формуле, предложенной Б. Л. Уэлчем [67]:

é m

2

2

~ ù

2

m

4

4

~

1

êåbi

S

(Ai

)ú

- 2åbi S

(Ai )

n +1

k

эф

=

ë i=1

û

i=1

i

(6-8)

1

m

4

4

~

åbi

S

(Ai )

n +1

i=1

i

Имея kэф и заданную доверительную вероятность, можем найти по распределению Стьюдента tq и, следовательно, доверительную границу ψ . Так же как и при применении формулы (6-7), при этом имеем

{~ - £ψ }= α .

P A A

Обратимся к задаче оценивания систематических составляющих погрешности. Постоянные и найденные систематические погрешности измерений аргументов следует считать исключенными благодаря введению поправок.

Реализации неисключенных систематических составляющих ϑi будем по

совокупности возможных аналогичных измерений рассматривать

как реализации случайной величины. Соображения в пользу такого решения приведены в гл. 4. Для каждой из составляющих ϑi обычно находят границы

возможных значений θi . Если	~	получены в результате прямых измерений, то
	Ai

границы неисключенной систематической погрешности θi находят согласно

изложенному в гл. 5. При этом, принимая элементарные систематические погрешности за случайные величины с равномерной плотностью распределения, получим, что распределение ϑi изменяется в зависимости от числа слагаемых от

равномерного до нормального. Соответственно этому для вычисления границ

m

неисключенной систематической погрешности результата измерения ϑ = åbiυi

i =1

целесообразно пользоваться разными формулами, естественно вытекающими из изложенного в § 4-4 и 5-1.

Если составляющие ϑi общей погрешности							ϑ считать равномерно
распределенными в пределах своих границ θi					, то
				m
		θ = k åbi2θi2 .						(6-9)
			i =1
Значения k	приведены на стр. 96.			При m ≤ 3			следует	также оценить
	m
алгебраическую	сумму åbiθi	и, если		эта	сумма		окажется	меньшей, чем

i=1

значение θ , вычисленное по (6-9), то за границы неисключенной

систематической погрешности нужно принять

m
θ = åbiθi .	(6-10)

i =1

Если все составляющие общей погрешности ϑ можно считать имеющими нормальное распределение (а это оправдано тогда, когда все они образованы большим числом слагаемых) и все границы θi вычислены для одной и той же

доверительной вероятности, то

m

θ = åbi2θi2 . (6-11)

i=1

В промежуточных случаях решение можно получить, используя следующие соображения. Пусть k слагаемых имеют нормальное распределение, а l — равномерное. Оценка дисперсии суммы первых слагаемых

2	2	æ	θi		ö2
		ç			÷
	k
Sk	= åbi	ç				÷ ,
	i=1	ç z1+α			÷
		è			ø
			2

где z1+α — квантиль нормального распределения, отвечающая вероятности

2

α .

Оценка дисперсии суммы вторых слагаемых

Si2 = åb				2j θ j .
		l		2
		j=1		3
Среднее квадратическое отклонение, неисключенной систематической
составляющей
S(ϑ)=							,
			Sk2 + Sl2
а
θ = tå S(ϑ).						(6-12)
Коэффициент tå находим по преобразованной формуле (5-8)
t	å	= θk		+θl
		Sk		+ Sl		,
где θk ,θl — границы суммы k и l	слагаемых погрешности, вычисляемые по

формулам (6-9) и (6-11) соответственно. Обе границы следует вычислять для одной и той же доверительной вероятности. Этому же значению доверительной

вероятности будет отвечать и полученная доверительная граница неисключенной систематической составляющей погрешности результата косвенного измерения.

Суммирование случайной и неисключенной систематической составляющих общей погрешности косвенного измерения ζ при необходимости выполняется с

помощью формул, приведенных в гл. 5.

Данные выше соотношения позволяют оценивать погрешности как статистических, так и обыкновенных косвенных измерений. Поскольку при

обыкновенных измерениях обычно оценивают границы погрешностей и случайные погрешности не выделяют, то обычно задача решается с помощью формул (6-9) — (6-12).

Если по каким-либо причинам поправки к результатам измерений

аргументов нужно использовать для уточнения непосредственно результата косвенного измерения, то в соответствии с формулой (6-4) для этого нужно

воспользоваться соотношением

	m
	С = åbiCi ,
	i=1	~	~
	где C,Ci — поправки к результатам измерений
		A и Ai .

6-3. Пример. Определение общего сопротивления и погрешности последовательного соединения резисторов

Рассмотрим случай, когда последовательно соединены 12 резисторов трех различных номинальных сопротивлений [33]:

Rå = 2R1 + 4R2 + 6R3 .

Приведенное уравнение представляет собой частный случай зависимости (6-2) при m = 3, b1 = 2,b2 = 4 и b3 = 6 .

Для резисторов каждого номинального сопротилвения Rн известны пределы допускаемых погрешностей:

Ri	R1	R2	R3
Rн , Ом …	100,00	10,00	1,00
θi , Ом …	0,03	0,02	0,01

Для рассматриваемого случая будем считать известным также, что по совокупности

резисторов с одним и тем же номинальным сопротивлением распределение действительных сопротивлений можно считать нормальным, усеченным на уровне вероятности α = 0,98.

Номинальное сопротивление нашей группы резисторов согласно соотношению (6-2) равно

Rå = 2×100 + 4×10 + 6×1= 246 Ом.

Доверительные границы погрешности этой группы резисторов для α = 0,98 найдем по формуле (6-11):

3

θ = åbi2θi2 = 22 ×0,032 + 42 ×0,022 + 62 ×0,012 = 0,11 Ом.

i=1

Округляя, получим θ = 0,1 Ом. Окончательно, с учетом необходимого числа значащих цифр, можем записать

Rå = 246,0 ± 0,1 Ом, α = 0,98 .

Если распределения действительных сопротивлений резисторов нужно было бы считать равномерными, то доверительные границы θ следовало бы вычислять по формуле (6-9) и мы получили бы при той же доверительной вероятности α = 0,98

θ ' = kθ =1,3×0,11= 0,14 Ом.

Разница между θ ' и θ для ряда случаев существенна. Остановимся на варианте, когда

последовательно соединены т резисторов номинально одного и того же сопротивления и с одним и тем же допуском:

Rå = mRN ,θN = const .

Например, RN =100 Ом, θN % = 0,5% , m =10. Спрашивается, какова погрешность

составного резистора.

Задача не так проста, как кажется, так как ее решение зависит от технологии изготовления резисторов.

Пусть соединяются резисторы, изготовленные в разное время на разном оборудовании. В этом

случае их погрешности независимы и погрешность каждого из резисторов можно считать реализацией случайной величины с равномерным распределением. Тогда согласно формуле (6-9) будем иметь

m

θ = k åθN2 = kθN m .

i=1

Удобно преобразовать формулу так, чтобы в нее входили относительные погрешности.

Для	этого разделим обе части уравнения на				Rå = mRN			и обозначим 100	θ	= θ% ,
	θN = θN % . Тогда получим								Rå
100
	RN
	θ% =		k				θN % .
				m

В рассматриваемом случае нужно ориентироваться на высокий уровень доверительной вероятности. Возьмем α = 0,99. Тогда k = 1,4 и

θ% = 110,4 × 0,5 = 0,2% ,

т. е. точность составного резистора выше, чем одиночного. Однако повышение точности ограничено точностью средств измерений, применяемых при контроле сопротивления резисторов.

Иногда составной резистор может образовываться из резисторов, сопротивление которых подгонялось индивидуально одним оператором с помощью одних и тех же средств, измерений. Чаще всего это возможно при изготовлении особо точных резисторов. При этом фактические погрешности всех резисторов нужно считать примерно одинаковыми, а так как все они, по существу, систематические, то и относительная погрешность составного резистора останется той же, что и у отдельных резисторов.

Развивая рассмотренный пример, можно перейти к случаю измерения некоторой

аддитивной величины в несколько одинаковых приемов применения одного и того же средства измерений, например, к измерению длины плоского тела с помощью короткой линейки. Из приведенного выше ясно, что систематическая составляющая погрешности такого измерения длины будет равна систематической погрешности линейки. Случайную же составляющую надо оценить применительно к обстоятельствам конкретного измерения.

6-4. Нелинейные косвенные измерения

Оценивание измеряемой величины путем подстановки в формулу (6-1) оценок аргументов в. общем случае допустимо только тогда, когда эта процедура соответствует определению конкретной измеряемой величины. Типичный пример — точное измерение плотности твердого тела (см. § 6-5). В других случаях возможность такого решения нужно подтвердить, так как M [f (X ,Y )]¹ f (MX ,MY ). Исследование этого вопроса можно выполнить на основе

разложения функции (6-1) в ряд Тейлора, обычно применяемого для оценивания погрешностей косвенных нелинейных измерений.

Ряд Тейлора для функции двух переменных х и у записывается, как известно, следующим образом:

æ

¶

¶

ö

f (x + h, y + k)= f (x, y)+ ç

h +

k ÷ f

(x, y)+

ç

¶x

¶y

÷

è

ø

1

æ

¶

¶

ö

2

1

æ

¶

¶

ön

+

ç

h +

k ÷

f (x, y)+...+

ç

h

+

k ÷

f (x, y)+ R

n+1

2!

ç

¶x

¶y

÷

ç

¶x

¶y

÷

è

ø

n!è

ø

где остаточный член

1

æ

¶

¶

ön+1

f (x +ν

h, y +ν

k), 0 <ν

R

=

ç

h +

k ÷

2

1,2

<1.

n+1

ç

¶x

¶y

÷

1

(n +1)!è

ø

Обращаясь к нашей задаче, будем считать x = A1 ,	y = A2 ,	~	,
		x + h = A1
~
y + k = A2 .

Следовательно

h = ζ	~	- A1 ,	~	,
	1 = A1		k = ζ 2 = A2 - A2
где ζ1,ζ 2 — погрешности результатов			измерений		первого и второго
аргументов.
Для получения линейной зависимости нужно					ограничиться n = 1.
Получим

~

~

æ

¶

¶

ö

ç

÷

f (A1

, A2 )=

f (A1, A2 )+

¶A

ζ1 +

¶A

ζ2

, A2 )+ R2

,

ç

÷ f (A1

è

1

2

ø

1

æ

¶

¶

ö2

R2

=

ç

ζ1 +

ζ

÷

f (A1 +ν1ζ

1, A2 +ν2ζ 2 ).

2

¶A

¶A

ç

2 ÷

è

1

2

ø

(6-13)

(6-14)

Частные производные принято называть коэффициентами влияния. Введем

для них обозначения

Wi = ¶¶Afi , i =1,...,m.

Заметим, что в уравнении (6-13) коэффициенты влияния вычислялся в точке с координатами A1, A2 и в принципе не имеют погрешностей.

Исследуем полученное соотношение. Рассмотрим сначала математическое

ожидание

~	~	+W2ζ 2 ]+ MR2 .
M [f (A1	, A2 )]= A + M [W1ζ1

Если оценки аргументов получены без систематических погрешностей, то

Mζ1 = Mζ2 = 0 и M [W1ζ1 +W2ζ2 ]= 0 .

Остаточный член оценивается по формуле (6-14). Однако истинные значения

аргументов неизвестны и приходится вторые производные вычислять в точке с

координатами	~	~	, т. е. считать ν1	=ν2	= 1. При этом значения производных
	A1	, A2

становятся случайными величинами, и в общем виде из-за этого нельзя найти выражение для математического ожидания остаточного члена. Приходится ограничиваться его оценкой. Погрешности результатов измерений аргументов

для вычисления этой оценки принимаются равными их практически предельным значениям. Тогда, обращаясь к формуле (6-14), находим

~ 1

æ

¶2 f

ö

2

1

æ

¶2 f

ö

2

æ

¶2 f

ö

R2 = 2

ç

¶A2

÷

D1 +

ç

¶A2

÷

D2

ç

÷

D1D2 .

2

¶A ¶A

ç

÷

~ ~

ç

÷

~ ~

+ ç

÷

~ ~

è

1

øA ,A

è

2

øA , A

è

1 2

øA , A

1

2

1

2

1

2

Если полученная таким образом оценка остаточного члена настолько

меньше других	погрешностей		результата			измерения,	что ею	можно
пренебречь, то	~	~	и	оценку		измеряемой	величины	можно
	M [f (A1	, A2 )]» A
находить по формуле			~	~	~	~
								(6-15)
			A = f (A1		, A2 ,..., Am ).

и считать ее несмещенной; она является и состоятельной, если использованы состоятельные оценки аргументов.