1rabinovich_s_g_pogreshnosti_izmereniy

П р и м е р 1. Измерение углов трехгранной призмы выполнено с трехкратным повторением наблюдений. Результаты наблюдений, которые мы считаем равноточными, дали

x1	= 89°55'	y1	= 45°5'	z1 = 44°57'
x2	= 89°59'	y2	= 45°6'	z2	= 44°55'
x3	= 89°57'	y3	= 45°5'	z3	= 44°58'

Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим

A0 = 89°57', B0 = 45°5,33' , C0 = 44°56,67 .

Сумма углов треугольника должна удовлетворять условию

А+ В+.С= 180°.

Унас же получилось 179°59’ Это несовпадение — результат погрешностей измерений. Необходимо изменить полученные значения A0 , B0 ,C0 , с тем чтобы точно известное условие

было выполнено.

Соотношения между неизвестными, которые должны точно выполняться, называют уравнениями связи.

Для того чтобы выполнить условия, накладываемые уравнениями связи, поступаем следующим образом.

Если у нас п условных уравнений, т неизвестных и k уравнений связи, причем n > m − k

иm > k , то можно k неизвестных исключить из условных уравнений, выразив их через остальные. Затем, пользуясь, методом наименьших квадратов, найдем значения т—k неизвестных и средние квадратические отклонения этих оценок. Остальные k неизвестных получаем, пользуясь уравнениями связи. Чтобы найти их средние квадратические отклонения, строго говоря, нужно произвести снова еще один цикл вычислений с условными уравнениями, в которых оставлены ранее исключенные неизвестные, а исключены другие. Часто этот повторный расчет не делают, основываясь на том, что заключение о среднем квадратическом отклонении ранее исключенных неизвестных можно сделать, используя оценки среднего квадратического отклонения других неизвестных.

Вернемся к нашей задаче. Для упрощения вычислений примем

А= А0 + а, В = В0 +b, С=С0 + c

ибудем искать значения поправок а, b, с.

Система условных уравнений преобразуется в следующую:

a1 = −2',		b1 = −0,33',	c1 = +0,33',
a2	= +2',	b2 = +0,67',	c2 = -1,67',
a3	= 0,	b3 = -0,33',	c3 = +1,33'.

Уравнение связи примет вид

A0 + a + B0 + b + C0 + c =180°

Следовательно,

a + b + c = 180° −179°59'= 1' .

Исключим из условных уравнений c , пользуясь соотношением

c= 1'−a − b ,

ив каждом уравнении укажем оба неизвестных.

Получим следующую систему условных уравнений:

~	~	= -2',	~	~	= -0,33',	~	~	= +0,67',
1× a	+ 0 ×b		0 × a	+1×b		1× a	+1×b
~	~	= +2',	~	~	= +0,67',	~	~	= +2,67',
1× a	+ 0 ×b		0 × a	+1×b		1× a	+1×b
~	~	= 0,	~	~	= -0,33',	~	~	= -0,33'.
1× a	+ 0 ×b		0 × a	+1×b		1× a	+1×b

Теперь составим систему нормальных уравнений. Ее общий вид будет

~

~

+ [xy]b = [xl],

[xx]a

~

~

+ [yy]b = [yl],

[xy]a

[xx]=1+1+1+1+1+1 = 6,

[xy]=1+1+1 = 3,

[yy]=1+1+1+1+1+1 = 6,

[xl]= -2'+2'+0,67'+2,67'-0,33'= +3',

[yl]= -0,33'+0,67'-0,33'+0,67'+2,67'-0,33'= +3'.

Следовательно, нормальные уравнения примут вид

~

~

= 3',

6a

+ 3b

~

~

= 3'.

3a

+ 6b

В соответствии с соотношениями (7-5) вычисляем

D =

6

3

= 36 - 9 = 27,

3

6

D =

3'

3

=18'-9'= 9',

a

3'

6

D =

6

3'

= 18'-9'= 9'

b

3

3'

и находим

~

~

9'

a

= b

=

= 0,33'.

~

27

= 0,33' .

Следовательно, и c

Подставляя полученные оценки в условные уравнения, вычислим остаточные невязки:

ν1 = 2,33'

ν4

= 0,67'

ν7

= 0

ν2 = -1,67' ν5

= -0,33'

ν8

= -2'

ν3 = 0,33'

ν6

= 0,67'

ν9

=1'

По формуле (7-7) вычисляем оценку дисперсии условных уравнений

9

åνi2

= 14,34

S2

=

i=1

= 2,05,

9 - 2

7

D11 = 6, D22 = 6.

Формулы (7-6) дают

2

~

2

~

6

~

~

S

(a )=

S

(b )=

× 2,05 = 0,456, S(a )

= S(b )= 0,675.

27

~ ~

~

можно не делать

Ввиду равноточности условных уравнений и равенства оценок a,b ,c

повторных

вычислений,

а сразу написать,

что

и

~

В

итоге получаем

S(c )= 0,675' .

~

~

~

= 44°57,00' и

~

~

~

A = 89°57,33', B = 45°5,67', c

S(A)=

S(B)= S(C )= 0,68'.

Если есть основания считать, что погрешности измерений углов имеют близкое к нормальному распределение, то можно оценить доверительные границы. Для α = 0,95

ψ = 2S = 1,3'. Соответственно этому нужно уменьшить число значащих цифр в полученных

оценках.

Окончательно можно написать

A = 89°57,3'±1,3', B = 45°5,7'±1,3', C = 44°57,0'±1,3'.

П р и м е р 2. Рассмотрим приведенный в начале данной главы пример совокупных измерений емкости двух конденсаторов. Результаты прямых измерений следующие:

x1 = 0,2071 мкФ,

x2 = 0,2056 мкФ,

x + x

= 0,4111 мкФ,

x1 × x2

= 0,1035 мкФ.

1

2

x1 + x2

Последнее уравнение — нелинейное. Разложим

его

в

ряд Тейлора, для чего найдем

сначала частные производные

¶f

=

C (C + C )- C C

=

(C1

C2

¶C1

2

(C1

+ C2 )2

2

- C2 )2

1

2

1

2

и аналогично

¶f

=

C2

1

.

¶C2

(C1 + C2 )2

Поскольку C1 » x1 , C2 » x2 , то можно написать

C1 = 0,2070 + e1, C2 = 0,2060 + e2.

Разложение в ряд выполним для точки с координатами С10=0,2070, С20=0,2060. Получим

	C10C20						= 0,10325,
	C	+ C				20
10
	¶f	=						0,2062	= 0,249,
	¶C1			(0,207 + 0,206)2
	¶f		=					0,2072		= 0,251.
	¶C2				(0,207 + 0,206)2
Условные уравнения найдем, полагая x1 = C1 и x2 = C2 :
	1× e1 + 0 × e2							= 0,0001,
	0 ×e1 +1× e2							= -0,0004,
	1× e1 +1× e2							= -0,0019,

0,249 × e1 + 0,251×e2 = 0,00025.

Теперь вычислим коэффициенты нормальных уравнений

[xx]= 2,062, [xy]= 1,0625 , [yy]= 2,063, [xl]= -0,001738, [yl]= -0,0002237.

Нормальные уравнения будут

2,062 × e1 +1,0625× e2 = -0,001738, 1,0625× e1 + 2,063×e2 = -0,002237.

Теперь находим искомые e1

и e2 . Согласно (7-5) вычисляем

D =

2,062

1,0625

= 3,125,

1,0625

2,063

D =

- 0,001738

1,0625

= -0,00122,

x

- 0,002237

2,063

Dy

=

2,062

- 0,001738

= -0,00275.

1,0625

- 0,002237

Отсюда находим

e =

Dx

= -0,00039,

1

D

e =

Dy

= -0,00088.

2

D

Следовательно,

~

= 0,2070

- 0,00039 = 0,20661 мкФ,

C1

~

= 0,2060

- 0,00088 = 0,20512 мкФ.

C2

Остаточные невязки условных уравнений найдем, подставляя найденные оценки неизвестных в условные уравнения:

ν1 = 0,00049, ν3 = -0,00063,

ν2 = 0,00058, ν4 = 0,00048.

Теперь по формуле (7-7) можно вычислить оценку дисперсии условных уравнений

			4
			åνi2		120 ×10		−8		−7
S	2	=	i=1	=				= 6 ×10
									.
			4 - 2		2

Алгебраические дополнения определителя D будут D11 = 2,063, D22 = 2,062 . Поскольку

D11 » D22 , то

	~	~	D			2,063
	S2 (C1 )= S2 (C2 )=		11	S2	=		×6	×10−7	= 4 ×10−7 ;
			D			3,125
	~	~
			×10−4 мкФ
	S(C )	= S(C1 )= 6,3

Рассмотренный метод измерения емкостей конденсаторов, по-видимому, был выбран для того, чтобы несколько уменьшить систематическую погрешность измерения, различную в разных точках диапазона измерения; для уменьшения случайной составляющей погрешности было бы достаточно измерение каждой емкости выполнить с многократными наблюдениями.

Если приведенное предположение справедливо, то несовместность условных уравнений обусловлена тем, что систематические погрешности были разными в разных точках диапазона измерения. В этом случае вероятностная модель не оправдана и среднее квадратическое отклонение вряд ли можно считать показательным параметром погрешности измерения.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

ОБЪЕДИНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

8-1. Вводные замечания

Одну и ту же величину часто измеряют в разных лабораториях и, следовательно, в разных условиях, а порой даже разными методами. Иногда возникает задача объединения полученных данных, с тем чтобы найти наиболее точную оценку измеряемой величины.

В ряде случаев при исследованиях новых явлений измерения соответствующих величин занимают много времени. Собирая в группы наблюдения за ограниченное время, в ходе измерения можно получать промежуточные оценки измеряемой величины. Естественно находить

окончательный результат измерения путем объединения промежуточных результатов, без лишних вычислений.

Приведенные примеры показывают, что задача объединения результатов измерений имеет большое значение для метрологии. Вместе с тем важно отличать ситуации, при которых объединение результатов оправдано, от тех, при которых оно недопустимо. Лишено смысла объединение таких результатов измерений, при которых, по существу, измерялись разные по размеру величины.

Нужно отметить, что при сопоставлении результатов измерений анализ

данных часто осуществляется на основе интуитивных суждений экспериментаторов, без формализованных процедур. Интересно, что при этом, как правило, приходят к согласующимся выводам. С одной стороны, это свидетельствует о выcоком качестве современных средств измерений, с другой — о высокой квалификации экспериментаторов, которые, оценивая погрешности, смогли выявить все их источники и проявили разумную осторожность.

8-2. Теоретические основы

Математически строгое решение имеет следующая задача. Есть L групп наблюдений одной и той же величины А. По наблюдениям каждой группы составлены оценки измеряемой величины x1,..., xL , причем

M [x1]= ... = M [xL ]= A.

Известны дисперсии наблюдений каждой группы σ12,...,σ L2 и число наблюдений в каждой группе n1,...,nL .

Требуется найти оценку измеряемой величины по данным всех групп наблюдений. Эту оценку обозначают x и называют совокупным средним или средним взвешенным.

Будем искать

как

линейную

функцию

xj , т. е.

как их

среднее

x

взвешенное:

L

= åg j xj

(8-1)

x

j =1

Следовательно, задача сводится к нахождению весов g j .

Поскольку M [xj ]= A и M [

]= A , то из (8-1) получаем

x

M [

]= M

é

L

g

x

ù

=

L

g

M [x

],

т. е. A = A L

g

.

x

j

êå

j

j ú

å

j

å

j

ë j =1

û

j =1

j =1

L

Следовательно, åg j

=1.

j =1

Далее потребуем,

чтобы

было эффективной оценкой A ,

т. е. чтобы

x

D[

] было минимально. Для этого найдем выражение для

D[

],

пользуясь

x

x

формулой

é

L

ù

L

D[xj ]=

D[x]= Dêåg j xj

ú

=

åg2j

(8-2)

ë j =1

û

j =1

= g12σ 2 (x1 )+ g22σ 2 (x2 )+ ...+ gL2σ 2 (xL )

L

=1- g1 - g2 - ...- gL −1 . Найдем

Используя условие

åg j =1

представим

gL

условие минимума D[

].

j =1

Для этого возьмем производные от (8-2)

по g j и

x

приравняем их нулю. Поскольку у нас L–1 неизвестных, возьмем L–1

производных:

2g σ 2

(x

)

− 2(1 − g

1

− g

2

− ... − g

L −1

)σ 2 (x

L

) = 0,

1

1

)σ 2

) = 0,

2g σ 2

(x

2

)− 2(1 − g

1

− g

2

− ... − g

L −1

(x

L

2

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....

2g

σ 2 (x

L

−1

)− 2(1 − g

1

− g

2

− ... − g

L −1

)σ

2 (x

L

) = 0.

L −1

Так как второе слагаемое одно и то же, отсюда получаем

g1σ 2 (x1 )= g2σ 2 (x2 )= ... = gLσ 2 (xL ).

Переход от gL −1 к gL сделан на том основании, что устранение gL не

диктовалось какими-либо принципиальными соображениями и вместо gL можно было взять весовой коэффициент с любым номером.

Таким образам, мы нашли второе условие, которым должны подчиняться веса средних арифметических групп наблюдений:

g1 : g2 :...: gL =	1	:	1		:...:		1		.
	σ 2 (x )			σ 2 (x )		σ 2	(x	)
	1		2				L
Чтобы найти веса g j , нужно		знать либо					дисперсии

арифметических, либо отношения дисперсий. Если мы имеем

(8-3)

средних

все дисперсии σ	2	(xj	), то можно положить		'		1		, и тогда получим
					gi =		σ 2 (xj	)
				g'
			g j =		j	.
				L				(8-4)
				åg'j

j =1

Поскольку веса — неслучайные величины, то нетрудно дисперсию для x . Согласно соотношению (8-2) имеем

L

2j D[xj ]=

åL (g'j )2 D[xj ]

D[

]= åg

j =1

=

x

æ

L

ö

2

j =1

çç

åg'j ÷÷

è

j =1

ø

L

é

1

ù

2

(xj

)

åê

ú

σ 2

2

1

=

j =1

ëêσ

(xj

)ûú

=

é L

ù2

L

1

êå

1

ú

åj =1

σ 2 (xj

)

2

ëê j =1 σ

(xj )ûú

определить

(8-5)

Соотношение (8-3) позволяет получить точные веса g j , если известны не сами дисперсии σ 2 (xj ), а только их отношения. В этом случае, имея вместо

дисперсий средних арифметических групп их оценки, можно получить выражение для оценки дисперсии среднего взвешенного [31]:

S2 (

)=

1

é L

nj -1

L

(xj

)2

ù

êåg j

S2j + åg j

-

ú.

(8-6)

x

x

N -1

nj

ëê j =1

j =1

ûú

Представляет интерес частный случай, когда дисперсии наблюдений у всех групп одинаковы, но число наблюдений в группах различно. В этом случае можно принять g'j = nj . Тогда веса средних арифметических будут

g j = nj N ,

(8-7)

L

где N = ånj , и соотношение (8-6) примет вид

j =1

S2 (

)=

1

êéåL (nj -1)S2j + åL

nj

(xj -

)2 úù.

(8-8)

x

x

N -1

ë j =1

j =1

û

Этот результат можно получить и непосредственно, объединяя наблюдения всех групп в одну большую группу наблюдений.

L

Число наблюдений в объединенной группе N = ånj .

j =1

Если сгруппировать наблюдения по группам, то совокупное среднее

будет

L

n j

ååxji

=

j =1 i =1

.

x

N

Развернем числитель. Получим

(x11 + x12 + ...+ x1n )+

(x21 + x22

+ ...+ x2n2 )+ ...

x =

=

1

N

,

n1x1 + n2 x2 + ... + nL xL

N

=

= åg j xj

N

j =1

где g j = nj N — вес j -го среднего арифметического.

Совокупное среднее x поэтому называют еще средним взвешенным.

Оценку среднего квадратического отклонения среднего взвешенного можно найти, рассматривая среднее взвешенное как среднее полученной большой группы наблюдений:

N

å(xk -

)2

S2 (

)=

x

k =1

.

x

N

(N -1)

Сгруппируем слагаемые числителя

ååL n j (xji -

)2

S2 (

)=

x

j =1 i =`

x

N

(N -1)

и выполним простые преобразования числителя с целью упрощения расчетов:

ååL n j (xji - x )2 =ååL n j (xji - xj + xj + x)2 =

j =1 i=1	j =1 i=1
= ååL n j	(xji - xj )2 + ååL n j	(xji - xj )(xj -		)+ååL n j (xj -		)2.
			x		x
j =1 i =1	j =1 i=1			j =1 i=1

Второй член последнего выражения равен нулю, так как в силу

особенностей среднего арифметического ån j (xji					- xj )= 0 и åL (xj				-		)= 0
										x
Поэтому				i=1		j =1
				é L n j		L n j			ù
S2 (		)=	1	êåå(xji - xj	)2	+ åå(xj -		)2	ú.
	x						x
			N(N -1)ëê j =1 i=1			j =1 i =1			ûú

Заметим, что

ån j	(xji - xj )2 = (nj -1)S2j , ån j (xj -		)2 = nj (xj -		)2.
		x		x
i=1	i=1

Тогда, сохраняя лишь суммирование по группам, получим

2

1

é L

~2

L

2

ù

S

(x )=

N(N

êå(nj -1)σ j

+ ånj

(xj - x )

ú.

-1)ë j =1

j =1

û

Первый член в полученной формуле характеризует рассеивание наблюдений в группах, а второй — рассеивание средних арифметических групп.

8-3. Влияние погрешности определения весовых коэффициентов на погрешность взвешенного среднего

Если посмотреть на общий вид формулы, определяющей среднее взвешенное, то, поскольку веса g j и взвешиваемые значения xj входят в нее

симметрично, можно подумать, что веса необходимо находить с той же точностью, что и xj . Между тем на практике обычно веса выражают числами с

одной-двумя значащими цифрами. Как же отражается неточность в определении весов на погрешности среднего взвешенного?

Общее выражение для среднего взвешенного имеет вид

L

x = åg j xj ,

j =1

где xj — j -е взвешиваемое значение, g j — весовой коэффициент, принятый для j -го значения величины, x — среднее взвешенное значение.

Взвешиваемые значения будем считать фиксированными, неизменными.

	L
	Кроме того, как обычно, примем åg j	=1	. Это равенство соблюдается и для
	j =1			~
	неточно найденных весовых коэффициентов; т. е. для
				g j . Следовательно,
	L
	åDg j		= 0,

j =1

где Dg j — погрешность определения коэффициента g j .

Считая, что точное значение среднего взвешенного есть у, оценим погрешность нахождения его оценки:

L	~	L	L
Dy = åg j xj		- åg j xj	= åDg j xj .
j =1		j =1	j =1

Выразим Dg1 через другие погрешности:

Dg1 = -(Dg2 + ... + DgL )

и подставим в выражение для

y :

Dy = (x2 - x1 )Dg2 + (x3 - x1 )Dg3 + ...+ (xL - x1 )DgL

или в форме относительных погрешностей

g

(x - x )

Dg2

+ ...+ g

L

(x

L

- x )

DgL

g2

gL

Dy

=

2

2 1

1

.

y

L

åg j xj

j =1

Сами погрешности

весовых

коэффициентов

g j

неизвестны. Но

g j

предположим, что мы можем оценить их границы. Пусть либо эти границы

равны по модулю, либо

Dg

— модуль границы наибольшей погрешности.

g

Заменяя все относительные погрешности на

Dg

, получим

g

Dy

£

Dg

×

g2 (x2 - x1 )+ g3(x3 - x1 )+ ... + gL (xL - x1)

.

y

g

L

åg j xj

j =1

Числитель правой части неравенства можно преобразовать к следующему виду:

g2 (x2 - x1 )+ g3 (x3 - x1 )+ ...+ gL (xL - x1 )=

= g2 x2 + g3x3 + ... + gL xL - (g2 + g3 + ...+ gL )x1.

Но g2 + g3 + ... + gL =1- g1 , поэтому

g2 (x2 - x1 )+ g3 (x3 - x1 )+ ...+ gL (xL - x1 )=

L

= åg j xj - x1 = y - x1.

j =1

Таким образом,

Dy	£	Dg	×		y - x1		.
y		g			y

Очевидно, что если повторить весь вывод, но при этом исключить погрешность не коэффициента g1 , а другого весового коэффициента, то в правой части неравенства будет фигурировать не x1 , а другое взвешиваемое значение. Следовательно, полученный результат можно представить в виде

Dx £ Dg × x - xj . x g x