1rabinovich_s_g_pogreshnosti_izmereniy

Недопустимо большими погрешностями по условию являются погрешности, отвечающие неравенствам

ζ н £ -D, ζв	£ +D .	(9-13)
Возьмем пару составляющих θai и θмi	и найдем такую точку на шкале

прибора yij , чтобы при y > yij было возможно выполнение одного из неравенств

(9-13). Целесообразно одновременно рассматривать только положительные или только отрицательные составляющие.

С учетом приведенных выше соображений относительно выделения случайных погрешностей неравенства (9-13) при этом примут вид θaj +ϑмyi ³ D -ψ

при положительных θaj и θмi и вид θaj +ϑмyi £ -D +ψ при отрицательных составляющих. Здесь

ϑмyi = θмi yi .

yк

Решение неравенств дает

y	³	D -ψ -θaj					y	к
ij		θ
				мi
y	³	D -	ψ +θaj				y	к
ij			θ	мi

ìíθaj îθмi ìíθaj îθмi

> 0,ü

ý

> 0,þ (9-14)

< 0,ü

ý

< 0,þ

Таким образом, участок шкалы, где возможно появление недопустимо больших погрешностей для каждой пары составляющих, равен yк - yij .

3. Вычислим вероятность изготовления прибора с погрешностью, меньшей заданного предела.

Вероятность одновременного появления выбранной пары составляющих θмi и θaj , поскольку они независимы, равна

p = pмi paj .	(9-15)
Вероятность того, что выбранная аддитивная составляющая θaj	окажется

на участке шкалы yк - yij , определяется по одной из двух функций f (y) и равна

y
p = òк	f (y)dy .

yк − yij

Отсюда находим вероятность появления прибора с недопустимо большой погрешностью при выбранных θмi и θaj :

y
pij = pмi paj òк	f (y)dy	(9-16)

yк − yij

Каждой паре составляющих отвечает своя вероятность pij . Расчет надо

вести отдельно для положительных и для отрицательных

пар составляющих, так как в приведенной схеме вычислений отдельно

учитывается левая и правая ветвь функции распределения результирующей систематической погрешности приборов.

Если мы рассматривали положительные составляющие θмi и θaj , то для

отрицательных расчет	нужно повторить: при несимметричной функции
f (ϑм ) или f (θa ) и	неравенстве f (y)+θa ¹ f (y)−θa положительным и

отрицательным погрешностям будут соответствовать разные вероятности. Но если функции симметричны, а f (y)+θa = f (y)−θa , то можно сократить

вычисления, принимая

y
pij = 2 pмi pij òк	f (y)dy	(9-17)
yк − yij
где индексы i и j теперь обозначают	номера	и положительных и
отрицательных погрешностей.
В результате вычислений находим
pн = å pij , pв = å pij ,
θ <0	θ >0

а затем — искомую вероятность pГ изготовления прибора с погрешностью, меньшей заданного предела:

pГ =1- ( pн - pв ) .

Мы получили ответ для случая, когда практически предельную случайную погрешность ψ у всех приборов можно считать одинаковой. Часто, однако, как уже отмечалось, нужно учитывать, что у разных приборов могут быть разные случайные погрешности, т. е. разные ψ .

Для решения этой задачи нужно воспользоваться формулами (9-12). Предварительно следует установить ряд дискретных значений ψ s и отвечающих

им вероятностей ps . Затем для каждого ψ s по приведенной выше схеме можно найти pГs . Усреднив полученные вероятности с весовыми коэффициентами ps ,

получим решение

pГ = å ps pГs .	(9-18)
s

Таким образом можно найти вероятность изготовления прибора с погрешностью, меньшей заданного предела, если прибор имеет один диапазон измерений. Решение этой же задачи для многодиапазонных приборов в принципе не отличается от приведенного.

Несколько диапазонов измерений приборы приобретают благодаря включению в их структуру делителей напряжения, шунтов, измерительных

трансформаторов и тому подобных устройств с коммутируемыми параметрами (например, с изменяющимся коэффициентом передачи). В

каждый прибор попадает по одному экземпляру подобных устройств того или иного типа.

Казалось бы, чтобы оценить вероятность появлений прибора с недопустимо большой погрешностью, нужно иметь функцию распределения всех погрешностей приборов. Имея эту функцию, следует

затем перебрать возможные сочетания погрешностей в одном приборе и выбрать из них те, которые дают погрешности, меньшие (или большие) заданного предела. Это возможно, но сложно.

Задача существенно упрощается, если ориентироваться на

распределение отдельно наибольших и наименьших погрешностей устройств (делители напряжения, шунты), придающих приборам несколько диапазонов измерений*11. Эти устройства будем называть многозначными блоками.

Каждый многозначный блок, его конкретный экземпляр, можно охарактеризовать только двумя наибольшими погрешностями по модулю: погрешностями положительной и отрицательной. Множеству однотипных

звеньев тогда будут соответствовать функции распределения наибольших и наименьших погрешностей.

Наибольшая (наименьшая) погрешность каждого прибора складывается из наибольших (наименьших) погрешностей входящих в него блоков. Соответственно этому функцию распределения наибольших (наименьших) погрешностей приборов можно построить по аналогичным функциям входящих в него блоков. Для многозначных блоков это функции

распределения наибольших и наименьших погрешностей по множеству блоков. Однозначный блок имеет одну погрешность с распределением по множеству блоков. Получив функцию распределения наибольших погрешностей приборов, находим искомую вероятность.

При решении задачи нужно разделить погрешности на мультипликативные и аддитивные, как это показано выше. Так же как показано выше, нужно учитывать и случайные погрешности.

В заключение следует добавить, что точность вычислений, при которых непрерывные распределения заменяются дискретными, зависит от

числа интервалов дискретизации и при применении вычислительных машин может быть сделана очень высокой. Однако вероятность изготовить прибор с погрешностью, меньшей заданного предела, не требуется находить с большой точностью.

Если же исходные данные представлены в виде гистограмм, то при

рассмотренном решении используется вся содержащаяся в них информация и неточность расчета определяется в основном неточностью гистограмм.

9-3. Пример. Расчет погрешностей токовых весов

Токовые весы представляют собой прибор, в котором сила взаимодействия подвижной и неподвижной катушек, обтекаемых одним и тем же постоянным током, уравновешивается силой тяжести гири. На основе данного принципа

11 Предложение вести расчет по наибольшим по модулю погрешностям блоков было сделано независимо В. В. Березиной и И. Н. Рыбаковым [5] и Ж. Ф. Кудряшовой.

осуществлен государственный эталон единицы силы электрического тока			(см. [14] и
ГОСТ 8.022–72).
Сила тока при равновесии токовых весов определяется выражением
I =			(9-19)
	mg F

где m — масса уравновешивающей гири, g — ускорение силы тяжести, F — постоянная токовых весов.

Постоянная токовых весов равна производной от взаимной индуктивности двух катушек (подвижной и неподвижной) по вертикальному перемещению подвижной катушки и вычисляется по их геометрическим размерам.

Отличие вычисленного по формуле (9-19) значения силы тока от ее истинного значения, т. е. погрешность токовых весов, обусловлена неточностью определения всех величин, входящих в эту формулу, а также влиянием поля проводов, подводящих ток к подвижной катушке. Отмеченные источники погрешностей создают систематическую погрешность токовых весов.

Однако уравновешивание весов сопровождается и случайными погрешностями, которые вызываются трением в опорах коромысла весов, колебаниями температуры окружающего воздуха, изменениями внешнего магнитного поля, влиянием воздушных потоков и некоторыми другими причинами.

Систематическую погрешность токовых весов нужно оценить путем расчета, экспериментально ее установить нельзя (если не иметь в виду сравнение национального эталона единицы силы тока с эталонами этой единицы других стран). Случайную же погрешность рассчитать практически невозможно, но зато можно оценить на основе экспериментальных данных. Как указано в ГОСТ 8.022–72, среднее квадратическое отклонение силы тока токовых весов в относительной форме

составляет S0 = 2 ×10-6 .

Неточность определения величин, входящих в формулу (9-19), характеризуется следующими данными. Для массы уравновешивающего груза относительная погрешность не выходит за границы

±1,25 ×10-6 , для ускорения силы тяжести — за границы ± 4 ×10-6 . (В настоящее время эта

погрешность может быть значительно меньшей).

Погрешность постоянной токовых весов в свою очередь вызывается рядом причин. В табл. 9-1 приведены границы погрешностей определения постоянной токовых весов (без учета знака), обусловленных каждой из этих причин [14].

В соответствии с формулой (9-3) найдем коэффициенты влияния относительных погрешностей измерений массы ε (m), ускорения силы тяжести ε (g) и расчета постоянной токовых весов ε (F ).

Выражение (9-19) представим в форме произведения аргументов:

I = m12 g12F -12 .

Как показано в § 6-4, в этом случае коэффициенты влияния равны показателям степеней соответствующих аргументов, т. е.

Vm = 12 , Vg = 12 , VF = - 12 .

Кроме перечисленных и оцененных составляющих погрешностей, нужно учесть упомянутую выше погрешность от влияния поля проводов, подводящих ток к подвижной катушке. Эксперимент показал, что это поле создает дополнительное воздействие на подвижную

часть, которое лежит в пределах ± 2 ×10-6 номинальной силы взаимодействия катушек. Поскольку сила взаимодействия (mg) имеет коэффициент влияния Vmg =12, то и данная

погрешность имеет такой же коэффициент влияния, VH =12 .

Согласно формуле (9-6) суммарная систематическая погрешность токовых весов (в относительной форме) будет

εå = VH ε(H )+Vmε (m)+Vgε (g)+VFε (F ),

где ε (H ) £ 2 ×10-6 , ε (m) £1,25×10-6 , ε (g) £ 4 ×10-6 , а для погрешности ε (F ) задан ряд составляющих.

Таблица 9-1

Границы составляющих погрешностей ε (F)

	Причина погрешности		Границы погрешности
			постояной δF ×10-6
	Неточность измерения
	радиальных размеров		± 3
	неподвижной катушки δF(rн )
	первой части подвижной		± 3
	катушки δF(rП1 )
	второй части подвижной		± 2
	катушки δF(rП 2 )
	Неточность измерения осевых
	размеров		± 2
	неподвижной катушки δF(lн )
	первой части подвижной		±1,3
	катушки δF(lП1 )
	второй части подвижной		± 0,7
	катушки δF(lП 2 )
	Отклонение катушек от		± 2
	цилиндрической формы δF(R)
Все составляющие погрешности εå		определены своими границами. Поэтому

воспользуемся формулой (9-10) и найдем доверительную систематическую погрешность токовых весов. Примем α = 0,95 и k = 1,1. Тогда

θ0,95 = 1,1

æ

1 ö2

(2

2

+1,25

2

+ 4

2

2

+1,3

2

+ 0,7

2

)×10

-12

=

ç

÷

+ 2 ×3

è

2 ø

=1,1×10-6

= 4 ×10-6.

13,5

Практически предельную случайную погрешность, зная S0 можно оценить, имея какие-

либо суждения о виде распределения экспериментальных данных. Если можно считать, что они соответствуют нормальному распределению, и принять доверительную вероятность также

равной 0,95, то ψ = 2S0 = 4 ×10-6 . Тогда практически предельная относительная погрешность токовых весов в режиме однократного уравновешивания согласно формуле (9-9) будет

δI0,95 = θ +ψ = 8 ×10-6 .

При измерении с помощью токовых весов э. д. с. нормальных элементов можно

осуществлять несколько уравновешиваний и благодаря усреднению получаемых данных уменьшить погрешность результата.

9-4. Пример. Расчет процента приборов,

основная погрешность которых не превышает заданного предела

Рассмотрим вольтметр ферродинамической системы. В соответствии с теорией приборов этой системы [2] составим структурную схему прибора. Эта схема изображена на рис. 9-5. На рис. 9-6 приведено графическое построение шкалы прибора. Блок 1 преобразует измеряемое напряжение Ux в силу тока

I = Ux R ,

где R — входное сопротивление вольтметра.

Сила тока I с помощью блока 2 преобразуется во вращающий момент

Мв = KI 2 ,

где K — электродинамическая постоянная прибора. Противодействующий момент M П создается блоком 3:

М П = Wα ,

где W — жесткость пружины, α — угол поворота подвижной части.

В положении равновесия подвижной части МВ = М П и отсюда

	α =	K	U 2 .	(9-20)
		WR2
			x

При изготовлении прибора путем его регулировки и градуировки шкалы фиксируется то конкретное сочетание параметров K,W и R , которое в нем

осуществляется. Поэтому погрешности прибора будут возникать лишь из-за изменений жесткости пружины и входного сопротивления относительно тех их значений,

которые были в момент регулировки. Постоянная же K практически неизменна и погрешностей невызывает.

По отношению к параметрам W и R формула (9- 20) является строгой и позволяет найти погрешности прибора из-за их изменений. По своей структуре она совпадает с формулой (6-23). Поэтому можно сразу

написать значения коэффициентов влияния относительных изменений жесткости W и сопротивления R :,

VW = −1, VR = −2 .

Кроме нестабильности параметров блоков,

причинами погрешности прибора являются еще трение в опорах подвижной части и неточность выполнения шкалы. Источники этих погрешностей отмечены на рис. 9-5. Поскольку эти погрешности аддитивные, их

целесообразно выражать в форме абсолютных погрешностей. Будем выражать их в единицах угла поворота подвижной части.

Погрешность, вызываемая трением (Мт — момент трения), есть погрешность случайная. Ее принято характеризовать вариацией, т. е. разностью показаний прибора, получаемой при плавном подходе справа и слева к одной и той же отметке шкалы. Для вариации устанавливают наибольшее значение (см., например, стандарты на электроизмерительные приборы). Наибольшая случайная погрешность от трения

равна половине вариации. Следовательно, при известной наибольшей вариации известны и границы ψТ

этой погрешности. В пределах этих границ принято считать распределение случайных погрешностей каждого прибора равномерным. Сами же границы у разных приборов могут быть разными.

Погрешность выполнения шкалы прибора αШ для каждой отметки шкалы конкретного

прибора является погрешностью систематической. Но от отметки к отметке эта погрешность изменяется. Изменяется она и от прибора к прибору.

Для каждого конкретного прибора можно найти наибольшую погрешность шкалы. Можно считать, что эта погрешность с равной вероятностью встречается на любой отметке шкалы. Множество приборов характеризуется распределением этих наибольших погрешностей шкал.

Итак, погрешности приборов имеют составляющие: погрешность от изменения жесткости пружин ϑ1 = −εW ,

погрешность от изменения входного сопротивления ϑ2 = −2εR , погрешность от трения ψ = αT ,

погрешность от неточного выполнения шкалы ϑ3 = αШ .

Погрешности ϑ1 и ϑ2 — погрешности мультипликативные и выражены в процентах; погрешности ϑ3 и ψ — погрешности аддитивные, выражены в единицах угла поворота подвижной части вольтметра

(в градусах), т. е. приведены к выходу. Поэтому погрешность прибора, приведенная к выходу,

определяется соотношением

	ζ	α	=		α	(ϑ +ϑ )+ϑ +ψ ,	(9-21)
				100
						1 2 3

где α — угол поворота подвижной части прибора, соответствующий его показанию Ux , для которого

вычисляется погрешность.

Для каждой из составляющих будем считать известными данные, приведенные в табл. 9-2.

Таблица 9-2

Исходные данные об источниках систематической погрешности приборов

	Источник	Интервал
		распределения		Частость
	погрешности или
		Левая	Правая	интервала
	погрешность
		границу	граница
	Относительное	-0,3%	-0,2%	0,2
	изменение жесткости	-0,2%	-0,1%	0,5
	пружин εW	-0,1%	0	0,3
	Относительное	-0,3%	-0,1%	0,2
	изменение	-0,1%	+0,1%	0,2
	сопротивления εR	+0,1%	+0,3%	0,6
	Абсолютная	-0,6°	-0,2°	0,5
	погрешность
		-0,2°	+0,2°	0
	выполнения шкалы
		+0,2°	0,6°	0,5
	прибора αШ

Известно также, что у 30% приборов практически наибольшая вариация не превосходит 0,8°, а у 70% — 0,4°. Таким образом, случайная погрешность 30% приборов лежит в границах ψ1 = ±0,4° , а 70% — в границах ψ2 = ±0,2° .

Располагая приведенными данными, нужно найти вероятность того, что приведенная погрешность вольтметров не будет выходить за пределы 0 = ±1% .

Приведенную погрешность нужно перевести в форму абсолютной погрешности. Мы выразим ее в градусах угла поворота подвижной части, что можно сделать с помощью графика, подобного приведенному на рис. 9-6. Пусть у нас предел допускаемой погрешности в градусах =1° (без учета знака).

Ориентируясь на формулу (9-21), найдем сначала композицию мультипликативных погрешностей ϑ1 и ϑ2 . Пользуясь данными, приведенными в табл. 9-2,

и найденными коэффициентами	влияния, нетрудно составить описания гистограмм
распределений этих погрешностей. Эти описания даны в табл. 9-3.
	Таблица 9-3

Описания гистограмм распределений мультипликативных составляющих погрешности приборов

		Интервал распределения
	Погрешность	погрешности, %		Частость
		Левая	Правая	интервала
		граница	граница
	ϑ1	+1,2	+0,3	0,2
		+0,1	+0,2	0,5
		0	+0,1	0,3
	ϑ2	+0,2	+0,6	0,2
		-0,2	+0,2	0,2
		-0,6	-0,2	0,6

Решение удобно выполнить методом перебора, описанным в § 4-5. Для этого гистограммы нужно заменить дискретными распределениями. Каждому интервалу приписывается погрешность, равная его середине. Вероятность появления этой погрешности принимается равной частости этого интервала.

		Таблица 9-4						Пусть погрешность ϑ1 отображена
								дискретной случайной величиной η1 , а
		Дискретное отображение распределения
мультипликативной погрешности приборов								погрешность		ϑ2	— дискретной
								случайной величиной η2 . Получим
		№ пп.	η =η +η	2	p = p p	2
			1		1
		1	+0,25+0,4=+0,65		0,04			η1 …	+0,25	+0,15	+0,05
2			+0,25+0,0=+0,25		0,04			p1 …	0,2	0,5	0,3
3			+0,25-0,4=-0,15		0,12
4			+0,15+0,4=+0,55		0,10			η2 …
5			+0,15+0,0=+0,15		0,10				+0,4	0	-0,4
6			+0,15-0,4=-0,25		0,30			p2 …	0,2	0,2	0,6
7			+0,05+0,4=+0,45		0,06
											ϑ1 +ϑ2
8			+0,05+0,0=+0,05		0,06			Погрешности
9			+0,05-0,4=-0,35		0,18			соответствует η =η1 +η2 . Ее реализации

приведены в табл. 9-4. Предельные значения суммарной погрешности ηmin = −0,6% и ηmax = +0,9% (им отвечают вероятности 0 и 1 соответственно). По полученным данным строим

интегральную функцию распределения. Числовые значения сведены в табл. 9-5.

По этим данным строим ступенчатую кривую как первое приближение к искомой функции распределения мультипликативной погрешности приборов, а затем ее сглаживаем методом линейной аппроксимации. Полученная функция распределения приведена на рис. 9-7.

Теперь выразим мультипликативную погрешность в форме абсолютных погрешностей — в долях угла поворота подвижной части. Найдем наибольшую погрешность, т. е. погрешность при

максимальном		отклонении. Примем, что αmax = 100°. При этом числовые значения
погрешности ϑ	м	= (ϑ +ϑ )	αmax	будут
		1 1 100

													Таблица 9-5
		Таблица вычисленных значений интегральной функции
		распределения мультипликативной погрешности приборов
η		-0,6			-0,35			-0,25		-0,15		+0,05
p		0			0,18			0,30		0,12		0,06
å p		0			0,18			0,48		0,60		0,66
η		+0,15	+0,25			0,45			0,55		0,65		0,9
p		0,10	0,04			0,06			0,10		0,04		0
å p		0,76	0,80			0,86			0,96		1,0		1,0

равны значениям, приведенным в табл. 9-5. Пользуясь этими данными и графиком на рис. 9-7,

построим гистограмму мультипликативной погрешности прибора при максимальном угле поворота подвижной части. Данные этой гистограммы таковы:

Номер интервала i	1	2	3	4	5
Граница интервала для
погрешности ϑм
(градусы)	+0,6	+0,3	0	-0,3	-0,6
Левая
Правая	+0,9	+0,6	+0,3	0	-0,3
Среднее значение
θмi …………………….	+0,75	+0,45	+0,15	-0,15	-0,45
Вероятность
попадания в интервал
pмi ……………………	0,05	0,15	0,20	0,42	0,18

Аналогично по данным табл. 9-2 получим средние значения интервалов распределения наибольших погрешностей выполнения шкал приборов и отвечающие им вероятности:

Номер интервала

j ……………..

1

2

3

Среднее значение θaj

погрешности в интервале……….

+0,4

0

-0,4

Вероятность попадания в

интервал paj ……………………..

0,5

0

0,5

В соответствии с формулами (9-14) найдем участки шкалы, где возможно забракование

прибора. У нас

1 = −ψ1 = 0,6°,

а

2

=

−ψ 2

= 0,8°

(для 30 и 70% приборов

соответственно).

Для θaj > 0 , θмi

> 0 и

1 = 0,6° получаем:

y

=

0,6 − 0,4 y

к

= 0,27y

к

и

yк − y11

= 0,73,

11

0,75

yк

y21

=

0,6 − 0,4 yк = 0,45yк

и

yк − y21

= 0,55,

0,45

− y12

yк

y

=

0,6

y

к

= 0,8y

к

и

yк

= 0,20.

0,75

12

yк