1rabinovich_s_g_pogreshnosti_izmereniy

Чтобы исправить оценку, сделать ее несмещенной, нужно σ~*2

n

поправочный коэффициент n −1 . Тогда получим

~2		1	n
			2
σ	=		å(xi − x) .
		n −1 i=1

умножить на

(3-13)

Эта оценка тоже состоятельная, но, как нетрудно проверить, уже несмещенная. Некоторое отклонение от максимума функции правдоподобия для нас менее существенно, чем смещенность оценки.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X — неслучайная величина σ = D[X ]. Вместо σ 2 приходится взять оценку дисперсии по

формуле (3-13) — случайную величину. Извлечение квадратного корня — процедура нелинейная, она приводит к смещенности получаемой таким

образом оценки σ~ . Чтобы исправить эту оценку, вводят множитель kn , зависящий от п следующим образом:

n………..	3	4				5		6	7		10
kn……… 1,13 1,08						1,06		1,05	1,04		1,03
Итак,
		~			1		n		2
	σ = kn						å(xi − x) .				(3-14)
				n
					−1 i=1

Оценки параметров нормального распределения получены. Но они также являются случайными величинами: повторив измерение, получим другую группу наблюдений, а для нее — другие значения x и σ~ . Рассеивания этих оценок

можно охарактеризовать их средними квадратическими отклонениями σ (x ) и

σ (σ~). Выше мы уже получили, что D(x)= σ 2 . Следовательно, n

σ (x)=	D[x]	=	σ				(3-15)
				n .

Поскольку вместо σ возьмем σ~ , то получим оценку значением kn , приходим к известной формуле

		n
σ	(x )=	å(xi − x)2
~		i=1
			.
		n(n −1)

Часто σ~(x) обозначают символом Sx .

σ~(x ), Пренебрегая

(3-16)

Аналогично находят оценку среднего квадратического отклонения оценки среднего квадратического отклонения σ~ :

~ ~				~
						σ
	σ (σ )=									.
						2(n −1)
Отсюда
σ~(σ~)				1
	~	=						.			(3-17)
					2(n −1)
	σ

Отношение (3.17) характеризует погрешность определения среднего квадратического отклонения. Это отношение зависит только от числа наблюдений в группе и при разных n составляет:

n………..…..				3	5	7	10	15
~ ~
100σ (σ )			, %	50	35	29	24	15
	σ

Для надежной оценки погрешности в полученную характеристику нужно ввести еще множитель, примерно равный двум.

Поскольку редко сразу делают очень много наблюдений, то

погрешность в определении среднего квадратического отклонения может быть весьма значительной. Во всяком случае эта погрешность значительно больше погрешности из-за смещенности оценки, обусловленной извлечением квадратного корня и устраняемой поправочным коэффициентом kn . Поэтому

обычно на практике данной смещенностью можно принебречь и вместо формулы (3.14) применять формулу

		n
	~	å(xi − x)2	(3-18)
		i=1
	σ =		.
		n −1

3-4 Практические методы проверки

нормальности распределения случайных погрешностей

Обычно задача ставится так: имеется группа результатов наблюдений и высказывается гипотеза о том, что эти наблюдения можно считать

реализациями случайной величины с выбранной формой функции распределения. Затем методами математической статистики эта гипотеза проверяется и либо принимается, либо отвергается.

При большом числе наблюдений (n>50) лучшими критериями проверки данной гипотезы считают критерий согласия К. Пирсона (критерий χ2 ) для группированных наблюдений и критерий Р. Мизеса — Н. В. Смирнова (критерий ω2 ) для негруппированных наблюдений [49.]

Остановимся на критерии χ2 . Идея этого метода состоит в контроле

отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе нормального распределения. Сумма квадратов разностей частот по интервалам не должна

превышать значений χ2 , для которых составлены таблицы в зависимости от

уровня значимости критерия q и числа степеней свободы k = L − 3, где L — число интервалов.

Вычисления ведутся по следующей схеме [31].

1. Вычисляют среднее арифметическое наблюдений и оценку среднего квадратического отклонений по формулам (3.11) и (3.18):

				n
		x =		åxi
				i=1	,
				n
			n
	σ =		å(xi − x)2			.
	~		i=1
				n −1
2.	Группируют наблюдения по интервалам. При числе наблюдений

40–100 обычно принимают 5–9 интервалов. Для каждого интервала вычисляют середину xi0 и подсчитывают число наблюдений, попавшее в каждый интервал, ϕ~i .

3. Вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее нормальному распределению. Для этого

сначала от реальных середин интервалов xi0 переходят к нормированным zi :

= x − x

zi i0 ~

σ

Затем для каждого значения zi находят значение функции плотности

вероятностей

	f (zi )=		1		e−	zi2
						2
			2π
				.
	Вычисление f (zi ) ведется с помощью табл. П-1 приложения.
	Теперь можно вычислить ту часть				ϕi общего числа имеющихся

наблюдений, которая теоретически должна была быть в каждом из интервалов:

ϕi = n h~ f (zi )

σ,

где n — общее число наблюдений, h = xi0+1 − xi0 — длина интервала, принятая при построении гистограммы.

4. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше 5 наблюдений, то его в обеих гистограммах

соединяют с соседним

интервалом. Затем определяют число степеней свободы k = L − 3, где L — общее число интервалов (если произведено укрупнение интервалов, то L — число интервалов после укрупнения).

5. Вычисляют показатель разности частот χ 2 :

L	, где χi2		~	2
χ2 = åχi2		=	(ϕi −ϕi	) .
i=1			ϕi

6. Выбирают уровень значимости критерия q. Уровень значимости должен быть достаточно малым, чтобы была мала вероятность отклонить правильную гипотезу (совершить ошибку, первого рода). С другой стороны, слишком малое значение q увеличивает вероятность принять ложную гипотезу, т. е. совершить ошибку второго рода [49, стр. 250].

По уровню значимости q и числу степеней свободы k в табл. П-3 находим границу критической области χq2 , так что

P{χ2 > χq2}= q .

Вероятность того, что получаемое значение χ 2 превышает χq2 равна q и мала. Поэтому, если оказывается, что χ2 > χq2 , то гипотеза о нормальности отвергается. Если χ2 < χq2 , то гипотеза о нормальности принимается.

Чем меньше q, тем при том же k больше значение χ 2 , тем легче выполняется условие χ2 < χq2 и принимается проверяемая гипотеза. Но при

этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. Поэтому нецелесообразно брать q<0,01. При слишком большом q, как указывалось выше возрастает вероятность ошибки первого рода и, кроме того, снижается чувствительность критерия. Например, при q — 0,5 с равной вероятностью χ 2 может быть и больше и меньше χq2 и, следовательно,

теряется возможность сделать выбор в пользу проверяемой гипотезы или против нее.

Для единообразия решения рассматриваемой задачи желательно унифицировать применяемые уровни значимости. С этой целью можно

предложить попытаться ограничить выбор уровня значимости интервалом

0,02 ≤ q ≤ 0,1.

Наряду с рассмотренной проверкой, при которой была принята односторонняя критическая область, применяют и двусторонние критические области, т.е. оценивается P{χн2 < χ2 < χв2}= q . В этом есть

определенный смысл, так как у реальной группы данных очень малое значение χ 2 маловероятно. Уровень значимости критерия q делится на две

части: q = q1 + q2 .		Для простоты часто считают q1 = q2 . По табл. П-3 для
P{χ2	> χ2} находят χ 2		для уровня значимости q и числа степеней свободы k
	q	1	1
и χ22	для уровня значимости 1—q2 и того же k.. Гипотеза о нормальности

проверяемой группы данных принимается, если χ22 ≤ χ2 ≤ χ12 .

Следует еще раз отметить, что данный критерий позволяет проверять

соответствие эмпирических данных любому теоретическому распределению, а не только нормальному. Однако этот критерий, как, впрочем, и другие критерии согласия, не позволяет установить вид распределения наблюдений, а лишь дает возможность проверить, допустимо ли отнести их к нормальному или иному, выбранному заранее распределению.

В практике измерений часто возникает необходимость проверить гипотезу о нормальности небольшой группы наблюдений. Гипотеза согласно рекомендации [31] проверяется с помощью двух критериев.

Критерий 1.

По данным наблюдений x1,..., xn

вычисляем значение

параметра d по формуле

n

å

xi − x

(3-19)

d =

i=1

nS*

где

n

=

å(xi − x)2

(3-20)

S*

i=1

n

dq1

Выбираем затем уровень значимости критерия q1

и по табл. П-4 находим

и d

q1 .

1−

2

2

Принимаем, что гипотеза о нормальности по критерию 1 не

отвергается, если

d1−

q1

≤ d ≤ d

q1

.

2

2

В противном случае гипотеза отвергается.

Критерий 2.

Этот критерий

введен

дополнительно для проверки

«концов» распределений.

Принимаем,

что гипотеза

о

нормальности

по критерию

2

не

отвергается, если не более m разностей

xi − x

~

где

σ~

превзошли zασ ,

-верхняя 100 α

2

вычисляется по формуле (3-18), а

zα

-процентная квантиль

2

2

нормированной функции Лапласа (табл. П-2); α определяем по п и уровню значимости q как корень уравнения

n
1− åCnk (1−α )k α n−k = q	.
i=1

Для нахождения α по заданным п, q и m=1 или 2 составлена табл. П-5.

При 10 < n < 20 следует принимать m = 1. Если 50 > n ³ 20 , то т=2.

Если число разностей xi − x , больших zα σ 2 , превышает т, то

2

гипотеза о нормальности отвергается.

Гипотеза о нормальности принимается, если для проверяемой группы данных выполняются оба критерия.

Уровень значимости составного критерия

q ≤ q1 + q2 ,

где q1 — уровень значимости для критерия 1, q2 — уровень значимости для критерия 2.

3-5. Примеры проверки нормальности распределения результатов наблюдений

П р и м е р 1 . В результате измерений получено 200 отклонений размера некоторой детали от номинального значения. Эти данные сгруппированы в 14 интервалов, середины которых, число отклонений, попавших в каждый интервал, и вспомогательные данные для расчетов по рассмотренной в § 3-4 схеме приведены в табл. 3-1 [31].

Кроме того, по формулам (3-11) и (3-18) вычислены среднее отклонение от номинального размера и оценка среднего квадратического отклонения x = −0,0284 и σ~ = 0,0515 . Как показано в таблице, в итоге

получено χ 2 = 7,03 .

Так как после укрупнения интервалов L = 11, то k=L—3=8.

Возьмем двустороннюю критическую область, и q1 = q2 = 0,02 . По табл. П-3 из условия

P{χ 2 > χq2}находим χ12 = 18,2 , а из условия P{χ 2 > χq2}= 1 - q2 находим χ22 = 2,03 .

Так как 2,03<7,03<18,2, то гипотеза о нормальности полученных отклонений принимается.

П р и м е р 2. В табл. 3-2 приведены результаты наблюдений, полученные при измерении напряжения исследуемого источника с помощью потенциометра. Проверим, можно ли считать полученные данные реализациями случайной величины, имеющей нормальное распределение.

Сначала найдем оценки параметров распределения

136

x= å x1 = 2,7994 В 36 i=1

~	1	36	2	1478×10−8			−4
σ =		å(xi	- x) =		= 6,52 ×10			В.
				35
	35 i=1

и по формуле (3-20) найдем S* :

S* = 6,52 ×10−4 3536 = 6,41×10−4 В.

Затем проверим выполнение критериев 1 и 2.

Таблица 3-1

Исходные данные и промежуточные выкладки для вычисления χ 2

	Середина	Эмпирическое					xi0 − x						Теоретическое
Номер	интервала	число									h		число	2
интервала i	x	наблюдений в	xi0 − x	zi	=		~		f (zi )		~	f (zi )	наблюдений в	χi
		~					σ				σ		интервале ϕi
	i0	интервале ϕi
1	-0,14	3	-0,1116		-2,17				0,038		0,015		3,0	0,27
2	-0,12	8	-0,0916		-1,78				0,082		0,032		6,4	0,27
3	-0,10	11	-0,0716		-1,39				0,174		0,068		13,6	0,50
4	-0,08	20	-0,0516		-1,00				0,242		0,094		18,8	0,08
5	-0,06	27	-0,0316		-0,61				0,333		0,130		26,0	0,04
6	-0,04	36	-0,0116		-0,23				0,388		0,151		30,2	1,11
7	-0,02	29	+0,0084		+0,16				0,394		0,154		30,8	0,10
8	0,00	18	+0,0284		+0,55				0,343		0,134		26,8	2,89
9	0,02	17	+0,0484		+0,94				0,256		0,099		19,8	0,40
10	0,04	17	+0,0684		+1,33				0,165		0,064		12,8	1,38
11	0,06	8	+0,0884		+1,72				0,091		0,035		7,0	0,14
12	0,08	4	+0,1084			+2,1			0,044		0,017		3,4	0,12
13	0,10	1	+0,1284		+2,49				0,018		0,007		1,4	0,12
14	0,12	1	+0,1484		+2,88				0,006		0,002		0,4	0,12
Сумма	—	200	Примерно 0				—		—			—	200,4	7,03

Таблица 3-2

Результаты наблюдений, полученные при измерении напряжения источника, и

предварительные вычисления

Номер	Показания											Номер									Показания
наблюдения			(xi - x )×104	(xi - x)2 ×108																				(xi - x)2 ×108
i	потенциометра									наблюдения											потенциометра		(xi - x )×104
	xi, В													i								xi, В
1	2.7997		+3			9								19								2.7988	-6		36
2	2.7991		-3			9								20								2.7999	+5		25
3	2.7990		-4			16								21								2.7998	+4		16
4	2.7997		+3			9								22								2.7996	+2		4
5	2.7992		-2			4								23								2.7992	-2		4
6	2.7976		-18			324								24								2.8000	+6		36
7	2.7984		-10			100								25								2.7993	-1		1
8	2.7999		+5			25								26								2.7988	-6		36
9	2.7990		-4			16								27								2.7993	-1		1
10	2.7989		-5			25								28								2.7982	-12		144
11	2.7997		+3			9								29								2.7999	+5		25
12	2.7993		-1			1								30								2.7997	+3		9
13	2.8000		+6			36								31								2.7999	+5		25
14	2.8006		+12			144								32								2.7992	-2		4
15	2.7998		+4			16								33								2.7999	+5		25
16	2.7995		+1			1								34								2.7989	-5		25
17	2.7992		-2			4								35								2.7994	0		0
18	2.8011		+17			289								36								2.7999	+5		25
	Критерий 1. Для того чтобы согласно (3-19) вычислить значение d, сначала подсчитаем
						n
					å				xi - x			= 174 ×10-4 .
					i=1
	Затем находим
				d =			174 ×10-4								= 0,754
						36 ×6,41×10-4
																					.
	Выбрав уровень		значимости		q1 = 0,02 , из											табл. П-4 находим							d0,01 = 0,877		и
d0,99 = 0,717 .
	Так как 0,717<0,754<0,877, то критерий 1 выполняется.
	Критерий 2. Примем уровень значимости q2 = 0,02. По табл. П-5 для n = 36 и q = 0,02
находим α = 0,99. Тогда, обращаясь, к табл. П-2, находим zα																					= 2,58 . Отсюда
															2
			~										-4		=16,8						×10	-4
			zασ = 2,58× 6,52 ×10																			.
			2
	Согласно критерию 2, не более двух разностей															x - x					могут превзойти 16,8 ×10-4 . По
																1
данным, приведенным в табл. 3-2, видим, что разности															x1 - x

только при i = 6 и i = 18 превышают критическое значение. Следовательно, критерий 2 выполняется.

Таким образом, с уровнем значимости q ≤ q1 + q2 = 0,04 гипотеза о нормальности полученных данных согласуется с данными наблюдений,

3-6. Обнаружение грубых погрешностей

Если в полученной группе результатов наблюдений одно-два резко отличаются от остальных, а наличие описки, ошибки в снятии показаний и тому подобных промахов не установлено, следует проверить, не являются ли они грубыми погрешностями, подлежащими исключению. Задача решается статистическими методами, основанными на том, что распределение, к которому относится рассматриваемая группа наблюдений, можно считать нормальным.

Для этого случая Ф. Е. Граббс рассчитал границы допустимых максимальных и минимальных значений при п наблюдений.

В дальнейшем были табулированы q-процёнтные точки

распределения максимальных по модулю отклонений результатов наблюдений от их среднего значения

tГ =	max			x − x
				i			(3-21)
				~
		σ
здесь σ 2 — оценка среднего				квадратического			отклонения,

вычисляемая по формуле (3-18). Это распределение удобнее для расчетов и приведено в табл. П-6 [6].

Чтобы проверить возможность отбросить наблюдение хв, нужно

сначала вычислить

	t =			x	− x
				в	~			(3-22)
	~				σ
где x
	и σ вычисляют с учетом всех п результатов наблюдений.
Затем, выбрав уровень значимости q, нужно найти в								табл. П-6

значение tГ , отвечающее этому уровню и числу наблюдений.

Если t > tГ , то хв можно отбросить: вероятность появления наблюдения, дающего t > tГ , мала и равна принятому уровню значимости.

Суменьшением q растет tГ и условие t > tГ выполняется труднее.

Пр и м е р 1 . Измерение силы тока дало следующую группу данных (сила тока в миллиамперах): 10,07; 10,08; 10,10; 10,12; 10,13; 10,15; 10,16; 10,17; 10,20; 10,40. Наблюдение с результатом 10,40 резко отличается от остальных. Проверим, нельзя ли его отбросить. Воспользуемся приведенным критерием, хотя у нас и нет данных для того, чтобы считать эти наблюдения удовлетворяющими нормальному распределению:

x=10,16 мА,

σ~ = 0,094 мА,

t = 10,40 −10,16 = 2,55 0,094

Примем q=1%. По табл. П-6 находим tГ = 2,62. Так как t < tГ , то наблюдение 10,40 нельзя

отбросить.

П р и м ер 2. Рассмотренный критерий основан на предположении о нормальном распределении наблюдений. Интересно посмотреть, что он даст в случае, когда о распределении ничего нельзя

сказать. Допустим, что x1 = 0 , x2 = 0, x3 = 0 , x4 = 4 . Может быть, x4 можно отбросить? Приведем вычисления:

~x = 1, σ~ = 2, t = 4 2-1 = 1,5.

Как видно из табл. П-6, при n=4 и любом q всегда tГ >1,6 . Поскольку t < tГ , то отбросить x4 нельзя. По-видимому, целесообразно продолжить измерение и увеличить число наблюдений.

3-7. Доверительные интервалы

~

Получив оценку A , представляет интерес выяснить, насколько она может изменяться при повторных измерениях, выполняемых в тех же условиях. Этот

вопрос выясняется с помощью построения доверительного интервала для истинного значения измеряемой величины.

Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной вероятностью, называемой доверительной, накрывает истинное значение измеряемой величины,

В общем случае доверительные интервалы можно строить на основе неравенства Чебышева [49, стр. 183]

P{

X - A

³ tσ}£

1

,

t2

Для случайной величины x имеем

ì

tσ ü

1

Pí

x - A

³

ý £

t2

î

n þ

При этом не требуется знать вида распределения наблюдений, но нужно

знать σ [X ]. Однако получаемые с

помощью неравенства Чебышева

интервалы оказываются слишком широкими для практики, и они не получили применения.

Обычно доверительные интервалы строят, основываясь на распределении Стьюдента, которым называют распределение случайной величины

= x - A

t (3-23)

Sx

вычисленное для X с нормальным распределением, Sx — оценка среднего

квадратического отклонения, среднего арифметического, вычисляемая по формуле (3-16).

Доверительный интервал [x − tqSx , x + tqSx ] отвечает вероятности

P{	x - A		£ tqSx }= α	(3-24)